Układ dynamiczny

Układ dynamiczny – model matematyczny rzeczywistego zjawiska przyrody, którego ewolucja jest wyznaczona jednoznacznie przez stan początkowy; najczęściej jest opisany pewnym wektorowym równaniem różniczkowym (czyli w istocie układem równań różniczkowych zwyczajnych), zwanym równaniem stanu. Teoria układów dynamicznych stanowi ważny dział matematyki znajdujący liczne zastosowania przy opisie konkretnych zjawisk, m.in. w teorii sterowania. Układy złożone są najczęściej symulowane komputerowo. Niektóre układy dynamiczne mogą wykazywać właściwości chaotyczne, najprostszym przykładem jest odwzorowanie logistyczne.

W odróżnieniu od układu statycznego, którego stan w danej chwili t jest zależny wyłącznie od wartości parametrów w chwili t, układ dynamiczny zależy także od parametrów z przeszłości.^[1] Innymi słowy system dynamiczny wymaga pamięci na temat poprzednich stanów aby wytworzyć wynik. Można go także określić jako układ z pamięcią, czyli układ, którego zachowanie zależy od stanu pamięci i zadanego wymuszenia.

Typy układów dynamicznych

Gładkie

(pochodzą od autonomicznych równań różniczkowych)

${\displaystyle X}$ – zbiór z pewną strukturą różniczkowalną,

${\displaystyle (T_{t})}$ – rodzina odwracalnych przekształceń różniczkowalnych (dyfeomorfizmów) spełniających warunek ${\displaystyle T_{t}{\circ }T_{s}=T_{t+s}.}$

Topologiczne

(dziedzina: dynamika topologiczna)

Niech ${\displaystyle \mathbf {X} }$ będzie przestrzenią topologiczną oraz ${\displaystyle \varphi :\mathbf {X} \times \mathbb {R} \to \mathbf {X} }$ niech będzie odwzorowaniem. Parę ${\displaystyle \left(\mathbf {X} ,\varphi \right)}$ nazywa się układem dynamicznym, jeżeli dla wszystkich ${\displaystyle x\in \mathbf {X} }$ oraz ${\displaystyle t,s\in \mathbb {R} }$ zachodzą warunki:

${\displaystyle \varphi (x,0)=x,}$

${\displaystyle \varphi (\varphi (x,t),s)=\varphi (x,t+s)}$

oraz ${\displaystyle \varphi }$ jest odwzorowaniem ciągłym.

Interpretacja

Interpretacja tej definicji może być następująca:

Przestrzeń ${\displaystyle \mathbf {X} }$ jest zbiorem wszystkich możliwych stanów, w których może znajdować się pewien fizyczny układ. Zbiór liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} }$ reprezentuje oś czasu. Punkt ${\displaystyle \varphi (x,t)}$ jest interpretowany jako stan układu po upływie czasu ${\displaystyle t,}$ jeżeli wiemy, iż układ ten był w chwili ${\displaystyle t=0}$ w stanie ${\displaystyle x.}$ Warunek drugi powyższej definicji mówi w istocie o tym, że sposób ewolucji początkowego stanu układu nie zależy od czasu, w którym ta ewolucja przebiega.

Teoriomiarowe

(dziedzina: teoria ergodyczna)

${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ – przestrzeń z miarą (zwykle probabilistyczna), ${\displaystyle T\colon X\to X}$ – odwzorowanie mierzalne, o którym często zakłada się, że zachowuje miarę, tzn. ${\displaystyle \mu (B)=\mu (T^{-1}B)}$ dla ${\displaystyle B\in {\mathcal {F}}.}$

Przykładami takich odwzorowań są: przekształcenie piekarza^{[2][3][4][5][6]} oraz przesunięcie w lewo dla uogólnionego schematu Bernoulliego (układu Bernoulliego), albo np.

${\displaystyle Tx=2x\mod 1}$ dla ${\displaystyle x\in X=[0,1].}$

Zobacz też

• układ statyczny
• przestrzeń fazowa (przestrzeń stanów)
• przestrzeń konfiguracyjna

Przypisy

1. Yon-PingY.P. Chen Yon-PingY.P., Static and Dynamic Systems [online] .
2. Hiroshi H. Hasagawa, William C. Saphir, Unitarity and irreversibility in chaotic systems, „Physical Review A”, 46, p. 7401 (1992).
3. Ronald J. Fox, Construction of the Jordan basis for the Baker map, Chaos, 7, p. 254 (1997).
4. Dean J. Driebe, Fully Chaotic Maps and Broken Time Symmetry, (1999) Kluwer Academic Publishers, Dordrecht Netherlands ISBN 0-7923-5564-4 (Exposition of the eigenfunctions the Baker’s map).
5. Friedrich L. Bauer, Sekrety kryptografii, Helion, 2003, ISBN 83-7197-960-6.
6. B. Schweizer, A. Sklar, „Foundations of Physics”, Vol. 20, No. 7, 1990, s. 873.

Kontrola autorytatywna (rodzaj systemu):

• NDL: 00576625
• BNCF: 21431

Encyklopedie internetowe:

• БРЭ: 1956597
• DSDE: dynamisk_system_-_matematisk_begreb