Twierdzenie Wedderburna

Twierdzenie Wedderburna – twierdzenie algebraiczne mówiące, że skończone pierścienie z dzieleniem są przemienne; oznacza to, że taki pierścień jest wtedy ciałem skończonym^[1][2] . Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Josepha Wedderburna, który podał jego dowód w 1905 roku^[3]  (poniższy dowód pochodzi od Ernsta Witta^{[potrzebny przypis]} i stanowi tłumaczenie zamieszczonego w książce André Weila, zob. Bibliografia).

Dowód

Niech ${\displaystyle F}$ będzie skończonym pierścieniem z dzieleniem (z jedynką) o charakterystyce ${\displaystyle p.}$ Niech ${\displaystyle Z}$ będzie jego centrum, a ${\displaystyle q=p^{f}}$ niech będzie liczbą elementów ${\displaystyle Z.}$ Jeśli wymiar ${\displaystyle F}$ jako przestrzeni liniowej nad ${\displaystyle Z}$ jest równy ${\displaystyle n,}$ to ${\displaystyle F}$ ma ${\displaystyle q^{n}}$ elementów. Grupę multiplikatywną ${\displaystyle F^{*}}$ niezerowych elementów pierścienia ${\displaystyle F}$ można rozbić na klasy elementów sprzężonych w następującej relacji równoważności:

dwa elementy ${\displaystyle x_{1}}$ i ${\displaystyle x_{2}}$ grupy ${\displaystyle F^{*}}$ są sprzężone, jeśli istnieje taki element ${\displaystyle y}$ grupy ${\displaystyle F^{*},}$ że ${\displaystyle x_{2}=y^{-1}x_{1}y.}$

Niech dla ${\displaystyle x\in F^{*}}$ symbol ${\displaystyle N(x)}$ oznacza centralizator elementu ${\displaystyle x}$ (względem mnożenia), czyli zbiór elementów pierścienia ${\displaystyle F}$ przemiennych z ${\displaystyle x.}$ Jest to podpierścień w ${\displaystyle F}$ zawierający ${\displaystyle Z.}$ Jeśli ${\displaystyle \delta (x)}$ jest wymiarem (w sensie przestrzeni liniowej) ${\displaystyle N(x)}$ nad ${\displaystyle Z,}$ to ${\displaystyle N(x)}$ ma ${\displaystyle q^{\delta (x)}}$ elementów. Liczba ${\displaystyle n}$ jest podzielna przez ${\displaystyle \delta (x)}$ i ${\displaystyle \delta (x)<n}$ dla ${\displaystyle x\not \in Z.}$

Ponieważ liczba elementów grupy ${\displaystyle F^{*}}$ sprzężonych z ${\displaystyle x}$ jest równa indeksowi grupy ${\displaystyle N(x)^{*}}$ w ${\displaystyle F^{*},}$ czyli

${\displaystyle {\frac {q^{n}-1}{q^{\delta (x)}-1}},}$

więc

(*) ${\displaystyle q^{n}-1=q-1+\sum \limits _{x}{\frac {q^{n}-1}{q^{\delta (x)}-1}},}$

gdzie sumowanie rozciąga się na pełny zbiór reprezentantów klas równoważności (w sensie sprzężenia) niecentralnych elementów z ${\displaystyle F^{*}.}$ Niech ${\displaystyle n>1}$ i niech

${\displaystyle P(T)=\prod \limits _{\zeta }(T-\zeta ),}$

gdzie iloczyn przebiega wszystkie pierwiastki pierwotne ${\displaystyle \zeta }$ z jedynki ${\displaystyle n}$-tego stopnia w ciele liczb zespolonych. Wielomian ten ma współczynniki całkowite. Jeśli ${\displaystyle \delta }$ dzieli ${\displaystyle n}$ i jest różne od ${\displaystyle n,}$ to wielomian ${\displaystyle P}$ dzieli

${\displaystyle {\frac {T^{n}-1}{T^{\delta }-1}}.}$

Dlatego w (*) z wyjątkiem ${\displaystyle q-1}$ wszystkie składniki są podzielne przez ${\displaystyle P(q)}$ i dlatego ${\displaystyle P(q)|q-1.}$ Z drugiej strony każdy czynnik iloczynu

${\displaystyle P(q)=\prod \limits _{\zeta }(q-\zeta )}$

ma wartość bezwzględną większą od ${\displaystyle q-1,}$ skąd sprzeczność. Zatem ${\displaystyle n=1}$ i ${\displaystyle F=Z,}$ czyli ${\displaystyle F}$ jest pierścieniem przemiennym.

Przypisy

1. Weil 1967 ↓, s. 23–24.
2. Wedderburn 1905 ↓.
3. Aigner i Ziegler 2002 ↓.

Bibliografia

• André Weil: Basic number theory. Springer-Verlag, 1967. (ang.)., wyd. ros. 1972.
• J.H.M. Wedderburn. A theorem on finite algebras. „Trans. Amer. Math. Soc.”. 6, s. 349–352, 1905. Amer. math. Soc.. (ang.). 
• Martin Aigner, Günter M. Ziegler: Dowody z Księgi. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002.

Linki zewnętrzne

• Twierdzenie Wedderburna. planetmath.org. [zarchiwizowane z tego adresu (2008-12-02)]. na PlanetMath (ang.)