Twierdzenie Mihăilescu (wcześniej hipoteza Catalana) – twierdzenie teorii liczb udowodnione przez Predę Mihăilescu[1] w 2002, będące wcześniej hipotezą postawioną w 1844 przez Eugène’a Charles’a Catalana.
Twierdzenie
Równanie
![{\displaystyle a^{x}-b^{y}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a39c270aa4b990d339c2e6c5eee7201d94cefbec)
gdzie
są liczbami naturalnymi większymi od 1, ma tylko jedno rozwiązanie:
Równanie to jest znane jako równanie Catalana[2][3].
Innymi słowy, jedyną parą następujących po sobie potęg liczb naturalnych (o wykładnikach naturalnych większych od 1) jest
i
Przypadek szczególny
Jedynym rozwiązaniem równania postaci
gdzie
jest
(np.
)[4].
Przypisy
- ↑ Preda Mihăilescu: Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan’s Conjecture, J. reine angew. Math. 572 (2004), s. 167–195.
- ↑
P.H. Koymans, The Catalan equation, sciencedirect.com, kwiecień 2017 [dostęp 2024-04-03].
- ↑
Franz Lemmermeyer, Catalan’s Equation, link.springer.com, 19 września 2021 [dostęp 2024-04-03].
- ↑ Catalan’s Conjecture: 3^2, 2^3 are the only powers that differ by 1 [online], 2000clicks.com [dostęp 2017-11-27] [zarchiwizowane z adresu 2018-04-14] .
Linki zewnętrzne