Twierdzenie Kołmogorowa o normowaniu przestrzeni liniowo-topologicznych

Twierdzenie Kołmogorowa o normowaniu przestrzeni liniowo-topologicznych - twierdzenie charakteryzujące te przestrzenie liniowo-topologiczne, w których da się wprowadzić normę tak by oryginalna topologia przestrzeni pokrywała się z topologią wprowadzoną przez normę (tj. przestrzenie normowalne). Twierdzenie udowodnione w 1934 przez A. N. Kołmogorowa^[1].

Twierdzenie

Niech X będzie przestrzenią liniowo-topologiczną Hausdorffa. Wówczas X jest normowalna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje w X ograniczone i wypukłe otoczenie zera.

Dowód

Jeżeli X jest przestrzenią normowalną, to ustaliwszy normę ${\displaystyle \|\cdot \|}$ w tej przestrzeni generującą wyjściową topologię, kula jednostkowa:

${\displaystyle B=\{x\in X\colon \|x\|\leqslant 1\}}$

jest ograniczonym i wypukłym otoczeniem zera.

Niech teraz X będzie przestrzenią mającą ograniczone i wypukłe otoczenie zera B. Istnieje wówczas zbalansowane (i wypukłe) otoczenie zera U zawarte w B. W szczególności, funkcjonał Minkowskiego zbioru U jest normą w X. Z ograniczoności zbioru B (a więc także zbioru U) wynika, że dla każdej liczby naturalnej n zbiór

${\displaystyle U_{n}=n^{-1}U}$

jest ograniczonym otoczeniem zera i że zbiory te tworzą bazę otoczeń zera przestrzeni X, tj. topologia wyznaczona przez normę (tj. funkcjonał Minkowskiego zbioru U) jest równoważna wyjściowej topologii przestrzeni X^[2] .

Przypisy

1. A. N. Kolmogorov, Zur Normierbarkeit eines allgemeinen topologischen linearen Räumes, Studia Math. 5 (1934), 29–33; angielskie tłumaczenie: V.M. Tikhomirov (Ed.), Selected Works of A.N. Kolmogorov. Vol. I: Mathematics and Mechanics,, Kluwer, Dordrecht–Boston–London, 1991, ss. 183–186.
2. H. H. Schaefer, M. P. Wolff 21 ↓.

Bibliografia

• S. K. Berberian, Lectures in Functional Analysis and Operator Theory, Spring Verlag 1974.
• H. H. Schaefer, M. P. Wolff, Topological Vector Spaces. GTM. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer, 1999. ISBN 978-1-4612-7155-0.
• M. Rosenzweig, Kolmogorov Normability Criterion.