Twierdzenie Bézouta: Wartość dowolnego wielomianu
obliczona dla dowolnej wartości
jest równa reszcie z dzielenia wielomianu
przez dwumian
. W szczególnym wypadku, gdy
, to wielomian jest podzielny przez
, zaś
jest pierwiastkiem wielomianu[1].
Przykłady
(1) Wielomian
nie jest podzielny przez
, gdyż
; de facto w dzieleniu tego wielomianu przez
otrzymuje się trójmian
i resztę
.
(2) Wielomian
jest podzielny przez
, gdyż
.
Twierdzenie Bézouta - ogólne sformułowanie
Niech
będzie pierścieniem przemiennym z jedynką.
Tw. Element
jest pierwiastkiem niezerowego wielomianu
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki wielomian
że
Ponadto stopień wielomianu
jest o jeden niższy niż stopień wielomianu
, tj.
[1].
Dowód:
Niech wielomian ma postać
![{\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8bf90f0688877d87584d33c5368de20afc0a0df)
Różnica dwóch k-tych potęg dana jest znanym wzorem:
![{\displaystyle x^{k}-r^{k}=(x-r)(x^{k-1}+x^{k-2}r+\dots +xr^{k-2}+r^{k-1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/466bd978688fa5022a3b4763691382f733cde88c)
Niech
oznacza większy czynnik z prawej strony powyższej równości. Wtedy
![{\displaystyle f(x)-f(r)=(x-r)(a_{n}S_{n}+\cdots +a_{2}S_{2}+a_{1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db4e170c376b32f19b98ba1e1b78dd32ac5e1068)
(ponieważ
).
Wtedy
![{\displaystyle f(x)=(x-r)(a_{n}S_{n}+\cdots +a_{2}S_{2}+a_{1})+f(r).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2452ed85ae311de4d3a9f1b766f0bc43c2154303)
Ponieważ
jest wielomianem stopnia n-1 (gdyż np.
jest wielomianem stopnia n-1), to otrzymujemy tezę twierdzenia, cnd.[2]
Równość Bézouta
Wartość wielomianu
w punkcie
jest równa reszcie z dzielenia wielomianu
przez dwumian
co wynika z ostatniej równości dowodu[3]. Równość tę nazywa się równością Bézouta[1].
Zobacz też
Przypisy
Linki zewnętrzne