Skończona przestrzeń topologiczna

Skończone przestrzenie topologiczne – szczególny przypadek przestrzeni topologicznych. Jak sama nazwa wskazuje przestrzeń ${\displaystyle (X,\tau )}$ nazywamy skończoną jeżeli zbiór X jest skończony. Przestrzenie skończone są przestrzeniami Aleksandrowa. Nie posiadają np. dobrych własności oddzielania, gdyż każda skończona ${\displaystyle T_{1}}$ przestrzeń jest przestrzenią dyskretną.

Podstawowe własności

W przestrzeni skończonej (jak i z definicji w każdej przestrzeni Aleksandrowa) przekrój dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest otwarty. Zatem jeśli ${\displaystyle (X,\tau )}$ jest przestrzenią skończoną, to dla każdego ${\displaystyle x\in X}$ zbiór ${\displaystyle U_{x}}$ będący przekrojem wszystkich zbiorów otwartych zawierających x jest otwarty. Zbiór wszystkich takich ${\displaystyle U_{x}}$-ów tworzy bazę przestrzeni X i jest to baza najmniejsza (w sensie inkluzji)^[1].

Przestrzenie skończone, a częściowe porządki

Każdej skończonej przestrzeni można przypisać relację przyjmując ${\displaystyle x\leqslant y}$ jeśli ${\displaystyle x\in U_{y}.}$ Relacja ta jest zwrotna i przechodnia, a jeżeli X jest ${\displaystyle T_{0},}$ to jest również antysymetryczna. Ponadto jeżeli X,Y są dwiema różnymi przestrzeniami topologicznymi, to odpowiadające im relacje są różne. Z drugiej strony mając dowolną zwrotną i przechodnią relację na skończonym zbiorze X, to relacja ta generuje topologię na X, której bazę tworzą zbiory postaci ${\displaystyle U_{x}=\{y:y\leqslant x\}.}$ Ponadto dwie różne relacje generują dwie różne przestrzenie topologiczne oraz otrzymana przestrzeń jest ${\displaystyle T_{0}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy wyjściowa relacja jest częściowym porządkiem. Z tego wynika, że istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy zwrotnymi i przechodnimi relacjami na danym zbiorze skończonym a topologiami na tym zbiorze. Podobna zależność jest dla częściowych porządków i ${\displaystyle T_{0}}$ przestrzeni na danym zbiorze skończonym. Analogiczne własności można naturalnie rozszerzyć na dowolne przestrzenie Aleksandrowa^[1].

Funkcje ciągłe w przestrzeniach skończonych

Funkcjami ciągłymi w przestrzeniach skończonych (a także i Aleksandrowa) są tylko te funkcje, które zachowują porządek, tj. ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle x\leqslant y}$ implikuje ${\displaystyle f(x)\leqslant f(y).}$ Zatem jak widać częściowe porządki można utożsamiać z ${\displaystyle T_{0}}$ przestrzeniami Aleksandrowa. Innymi słowy kategoria częściowych porządków jest izomorficzna z kategorią ${\displaystyle T_{0}}$ przestrzeni Aleksandrowa^[1].

Kolejną ciekawą własnością jest to, że jeśli ${\displaystyle x,y\in X}$ są porównywalne, to istnieje droga ${\displaystyle f}$ łącząca punkt x z y. Można ją zdefiniować przyjmując f(t)=x dla x<1 oraz f(1)=y. Zauważmy też, że jeśli X jest spójna, to dla dowolnych punktów ${\displaystyle x,y\in X}$ istnieje ciąg punktów ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{k}}$ taki, że albo ${\displaystyle z_{i}\leqslant z_{i+1}}$ albo na odwrót. Stąd też wynika, że w klasie przestrzeni skończonych spójność i łukowa spójność są równoważne^[1].

Przestrzenie skończone, a macierze

Mając przestrzeń topologiczną ${\displaystyle X=\{1,2,\dots ,n\}}$ możemy przypisać jej macierz ${\displaystyle A_{X}}$ zdefiniowaną następująco:

jeśli ${\displaystyle i\leqslant j,}$ to ${\displaystyle a_{ij}=1,}$ w przeciwnym wypadku ${\displaystyle a_{ij}=0.}$

Każda macierz, która odpowiada pewnej skończonej przestrzeni topologicznej spełnia następujące warunki:

${\displaystyle a_{ij}\in \{0,1\},}$ ${\displaystyle a_{ii}=1,}$ ${\displaystyle a_{ik}=a_{kj}=1\Rightarrow a_{ij}=1,}$

Ponadto każda macierz kwadratowa posiadająca powyższe własności jest macierzą pewnej skończonej przestrzeni topologicznej. Innymi słowy istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między takimi macierzami a skończonymi przestrzeniami. Ponadto X jest ${\displaystyle T_{0}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle a_{ij}\cdot a_{ji}=0}$ dla wszystkich ${\displaystyle i,j\in \{1,\dots ,n\},}$ gdzie ${\displaystyle i\neq j.}$^[2]

Jeśli ${\displaystyle A,B}$ są dwiema macierzami skończonych przestrzeni określonych na zbiorze ${\displaystyle X=\{1,\dots ,n\},}$ to odpowiadające im przestrzenie są homeomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka permutacja ${\displaystyle p\colon X\to X,}$ że ${\displaystyle A=P^{T}BP,}$ gdzie ${\displaystyle P=[\delta _{ip(j)}]}$ ${\displaystyle (\delta _{ip(j)}}$ oznacza deltę Kroneckera. Ponadto wtedy macierze ${\displaystyle A,B}$ będziemy nazywać równoważnymi i będziemy oznaczać ${\displaystyle A\simeq B.}$

Jeśli przestrzeń skończona ${\displaystyle X}$ nie jest spójna oraz ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{k}}$ są jej składowymi, których maciarzami są odpowiednio ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{k},}$ to macierz przestrzeni ${\displaystyle X}$ jest równoważną macierzy klatkowej, w której klatkami są macierze ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{k},}$ tj. ^[2]

${\displaystyle A\simeq {\begin{pmatrix}A_{1}&0&\cdots &0\\0&A_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&A_{k}\end{pmatrix}}.}$

Topologia algebraiczna w przestrzeniach skończonych

Własności homotopijne

Z aksjomatów oddzielania przestrzeń skończona niebędąca przestrzenią dyskretną może spełniać co najwyżej aksjomat ${\displaystyle T_{0}.}$ Jednak jak się okzuje z dokładnością do homotopijnej równoważności każda skończona przestrzeń jest ${\displaystyle T_{0}.}$ Mając daną przestrzeń skończoną ${\displaystyle X,}$ która nie jest ${\displaystyle T_{0}}$ dzielimy ${\displaystyle X}$ przez relację ${\displaystyle x\sim y\Leftrightarrow U_{x}=U_{y}.}$ Tak otrzymana przestrzeń ilorazowa ${\displaystyle X_{0}}$ jest istotnie ${\displaystyle T_{0}}$ oraz homotopijnie równoważna z ${\displaystyle X.}$ Intuicyjny sens relacji ${\displaystyle \sim }$ jest taki, że jeśli ${\displaystyle U_{x}=U_{y},}$ to ${\displaystyle x,y}$ należą dokładnie do tych samych zbiorów otwartych, a więc z topologicznego punktu widzenia są nierozróżnialne i relacja ${\displaystyle \sim }$ wszystkie takie nierozróżnialne punkty przekształca w jeden. Weźmy pewien przykład. Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią z topologią, której baza wygląda następująco: ${\displaystyle \{1,2,3,4\},\{4\},\{4,5,6\}\}.}$ Wtedy punkty 1,2,3 są w zdefiniowanej powyżej relacji. I widać zresztą, że w zasadzie są one nierozróżnialne w sposób topologiczny. Tak samo jest z punktami 5 oraz 6. Zatem ${\displaystyle X_{0}}$ ma bazę: ${\displaystyle \{1,4\},\{4\},\{4,6\}.}$^[1]

Przestrzenie skończone a wielościany

Myśląc o grupie podstawowej przestrzeni skończonych można pomyśleć, że – biorąc pod uwagę niezbyt skomplikowaną strukturę przestrzeni skończonych – nie można powiedzieć zbyt wiele ciekawego na temat. Jednak rozważmy przestrzeń czteropunktową, w której topologię wprowadzamy w ten sposób, że przyjmujemy dwa punkty za otwarte, a dwa pozostałe za domknięte. I jak się okazuje grupa podstawowa takiej przestrzeni jest izomorficzna z ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ Co więcej wyższe grupy homotopii wspomnianej przestrzeni są wszystkie zerowe. Widać tutaj analogię do grup homotopii zwykłego okręgu, stąd też przestrzeń ta bywa zwana pseudookręgiem. Jednak zależność między ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1},}$ a pseudookręgiem jest nieco głębsza. Mianowicie obie przestrzenie są słabo homotopijnie równoważne (mówimy, że przestrzenie ${\displaystyle X}$ oraz ${\displaystyle Y}$ są słabo homotopijnie równoważne jeżeli istnieje przekształcenie ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ takie, że ${\displaystyle f_{0}:\pi _{0}(X)\to \pi _{0}(Y)}$ jest bijekcją oraz homomorfizm indukowany ${\displaystyle f_{n}\colon \pi _{n}(X,x)\to \pi _{n}(Y,f(x))}$ jest izomorfizmem dla dowolnych ${\displaystyle x\in X}$ oraz ${\displaystyle n\geqslant 1}$).

Słaba homotopijna równoważność łączy przestrzenie skończone ze skończonymi wielościanami. Otóż dla każdego skończonego wielościanu istnieje przestrzeń skończona, która jest z nim słabo homotopijnie równoważna. Słaba homotopijna równoważność nie musi być homotopijną równoważnością i w przypadku przestrzeni skończonych i wielościanów nigdy nie jest (nie licząc patologicznych przypadków gdy przestrzeń skończona jest dyskretna, a odpowiadający jej wielościan jest dalej tą samą przestrzenią traktowaną jako 0-wymiarowy wielościan), gdyż żadna łukowo spójna ${\displaystyle T_{1}}$ przestrzeń nie może mieć typu homotopii przestrzeni skończonej^[3].

Jeżeli za dany wielościan przyjąć sferę ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n},}$ to każda przestrzeń, która jest z nią słabo homotopijnie równoważna musi mieć co najmniej ${\displaystyle 2n+2}$ punktów. Co więcej z przestrzeni, które mają ${\displaystyle 2n+2}$ punktów z dokładnością do homeomorfizmu istnieje tylko jedna taka przestrzeń. Zaś sam pseudookrąg jest najmniejszą, w sensie liczby punktów, przestrzenią topologiczną z nieskończoną grupą podstawową.

Ponadto przestrzenie słabo homotopijnie równoważne posiadają takie same grupy homologii i kohomologii singularnych. Zatem topologia algebraiczna w przestrzeniach skończonych jest co najmniej tak samo bogata i interesująca jak w klasie wielościanów skończonych^[3].

Ilość topologii na zbiorze skończonym

Badając przestrzenie skończone naturalne wydaje się pytanie co można powiedzieć o liczbie topologii na danym zbiorze skończonym w zależności od ilości elementów. Można rozważać również ilość ${\displaystyle T_{0}}$ topologii, klas homeomorfizmu itp. W poniższe tabelce przedstawiono wartości dla

Liczba topologii na zbiorze n-elementowym

n	Różne topologie	Różne T0 topologie	Klasy homeomorficzności	T0 klasy homeomorficzności
0	1	1	1	1
1	1	1	1	1
2	4	3	3	2
3	29	19	9	5
4	355	219	33	16
5	6 942	4 231	139	63
6	209 527	130 023	718	318
7	9 535 241	6 129 859	4 535	2 045
8	642 779 354	431 723 379	35 979	16 999
9	63 260 289 423	44 511 042 511	363 083	183 231
10	8 977 053 873 043	6 611 065 248 783	4 717 687	2 567 284
OEIS	A000798	A001035	A001930	A000112

Jeżeli przez ${\displaystyle T(n)}$ oznaczymy ilość topologii na zbiorze ${\displaystyle n}$-elementowych, a przez ${\displaystyle T_{0}(n)}$ ilość ${\displaystyle T_{0}}$ topologii na tym samym zbiorze, to dla każdego n zachodzi wzór

${\displaystyle T(n)=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)\,T_{0}(k),}$

gdzie ${\displaystyle S(n,k)}$ oznacza liczby Stirlinga II rodzaju.

Przypisy

1. J.A. Barmak: Algebraic Topology of Finite Spaces and Applications. Springer, 2011. ISBN 978-3-642-22002-9. (ang.). Brak numerów stron w książce
2. R.E. Stong, Finite Topological Spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 123 (1966), 325-340.
3. M.C. McCord, Singular homology and homotopy groups of fnite topological spaces. Duke Math. J. 33 (1966), 465-474.