Rozszerzenie Galois – rozszerzenie algebraiczne
danego ciała
takie, że istnieje grupa automorfizmów ciała
ze względu na którą
jest ciałem elementów stałych.
Definicja
Rozszerzeniem Galois danego ciała
nazywa się takie rozszerzenie algebraiczne
ciała
takie, że istnieje grupa
automorfizmów ciała
taka, że:
[1], gdzie
[2].
Własności
Dane rozszerzenie algebraiczne ciała
jest rozszerzeniem Galois wtedy i tylko wtedy, gdy jest rozszerzeniem normalnym i rozdzielczym[1].
- Dowód
- „
”
Sprawdźmy, że rozszerzenie Galois musi być normalne i rozdzielcze. Skoro jest to rozszerzenie Galois, to z definicji istnieje grupa
automorfizmów ciała
dla której
jest ciałem elementów stałych, tzn.
Ustalmy
oraz nierozkładalny wielomian
z pierścienia
taki, że
Udowodnimy następnie, że
stanowi iloczyn czynników liniowych należących do
ale nie do
Weźmy dowolny endomorfizm
i zauważmy, że wielomian
przyjmuje w punkcie
wartość
(jest tak, ponieważ
). Tak więc
jest pierwiastkiem wielomianu
a zbiór
jest skończony. To znaczy, że dla danego
istnieć może jedynie skończona liczba różnych
pomimo dowolnie wybieranych endomorfizmów. Oznaczmy te elementy jako
Zauważmy, że dowolny automorfizm
przekształca dowolny zbiór skończony w siebie, w szczególności:
Niech będzie dany wielomian
wtedy
Ponieważ wspomniane dwa zbiory są równe, to każdy z tych wielomianów składa się z dokładnie tych samych czynników (różniących się tylko kolejnością), a stąd wynika równość wielomianów:
Tak więc dowolnie wybrany automorfizm
nie zmienia wielomianu
Wobec tego współczynniki tego wielomianu należą do ciała
Sam wielomian
należy w takim razie do pierścienia
Wybrano go tak, że ma on wyłącznie pierwiastki jednokrotne i to będące zarazem pierwiastkami
Wynika stąd, że wielomian
dzieli wielomian
Nierozkładalny wielomian
musi być więc równy iloczynowi wielomianu
oraz pewnego niezerowego elementu ciała
Stąd wnioskujemy, że
stanowi iloczyn różnych wielomianów liniowych należących do pierścienia
[1].
- „
”
Udowodnimy, że rozszerzenie normalne i rozdzielcze jest rozszerzeniem Galois. Z założenia, dla
wielomian
dla którego
jest pierwiastkiem, stanowi iloczyn różnych wielomianów liniowych należących do pierścienia
Niech
Wtedy rozpatrywany wielomian
jest stopnia silnie większego od 1, wobec czego posiada on jeszcze jeden inny pierwiastek
Musi więc istnieć homomorfizm pomiędzy rozszerzeniami
przekształcający
w
będący
-izomorfizmem. Da się go rozszerzyć do
-izomorfizmu
gdzie
jest zbiorem wszystkich elementów algebraicznych względem ciała
Izomorfizm ten przekształca ciało
na siebie (stanowi jego
-automorfizm), a restrykcja
W dalszym ciągu przekształca on
w różne od niego
Wynika stąd, że dowolny element należący do
ale nie do
nie jest zachowywany przez wszystkie automorfizmy grupy
Inaczej mówiąc,
q.e.d.[1]
Wynika stąd także, że w przypadku ciała doskonałego jego rozszerzenie jest normalne wtedy i tylko wtedy, gdy jest rozszerzeniem Galois. Z kolei dane ciało posiada swoje skończone rozszerzenie Galois wtedy i tylko wtedy, gdy rozszerzenie to będzie ciałem rozkładu dla pewnego wielomianu o współczynnikach z wyjściowego ciała, posiadającego pierwiastki jednokrotne. Ten ostatni wniosek wynika z tego, że rozszerzenia o podanych właściwościach muszą być skończone, normalne i rozdzielcze[3].
Przypisy
Bibliografia