Špehar pochodzi z Osijeku i tam też zaczynał swoją piłkarską karierę. Do zespołu NK Osijek trafił w 1988 roku a w pierwszej drużynie zadebiutował w sezonie 1990/1991 ligi jugosłowiańskiej. Po utworzeniu pierwszej ligi chorwackiej w 1991 roku Špehar nadal był graczem pierwszego zespołu NK, w którym był dżokerem i wchodząc często w drugich połowach meczów zdobywał bramki. W sezonie 1992/1993 młody Špehar zrobił wrażenie nawet na sztabie szkoleniowym Dinama Zagrzeb, które zapragnęło go mieć u siebie i zimą 1992 roku Robert podpisał kontrakt ze stołecznym klubem. Już wiosną ze Špeharem w składzie Dinamo zostało mistrzem Chorwacji. Następny sezon to już popis Roberta, który zdobył 18 bramek i był najlepszym strzelcem zespołu – w lidze więcej bramek od niego zdobył tylko Goran Vlaović z Hajduka Split. Na nieszczęście te bramki dały Dinamu tylko wicemistrzostwo kraju. Na sezon 1994/1995 ku zdziwieniu fanów w całej Chorwacji, Špehar powrócił do macierzystego Osijeku i w barwach tego klubu wywalczył pierwszą w karierze koronę króla strzelców ligi (zdobył wówczas 23 bramki).
Špehar robił furorę na Bałkanach, toteż kwestią czasu było, kiedy przejdzie do silniejszego klubu z zachodniej Europy. Latem 1995 skorzystał z oferty belgijskiegoClub Brugge, który miał nadzieję przerwać hegemonię Anderlechtu. Już w pierwszym sezonie gry w Eerste Klasse Špehar pomógł Brugge zdobyć upragnione mistrzostwo. W kolejnym sezonie (1996/1997) mistrzem kraju został Lierse SK, Brugge Špehara zostało wicemistrzem, ale wyczyn Roberta zasługuje na wielkie uznanie – zdobył 26 bramek w 27 rozegranych przez niego meczach i po Josipie Weberze i Mario Staniciu stał się trzecim w historii chorwackim królem strzelców ligi belgijskiej. Kiedy wydawało się, że Špehar zostanie w Belgii na kolejny sezon, nieoczekiwanie zgłosiło się po niego francuskieAS Monaco i Robert niebawem stał się graczem tego klubu.
W Monaco jednak Špehar już tak nie błyszczał jak w poprzednich latach. Miał problemy z aklimatyzacją, kontuzjami i ciężko było mu wywalczyć miejsce w składzie. Dość powiedzieć, że w ataku musiał konkurować z takimi zawodnikami jak Thierry Henry, David Trezeguet czy Victor Ikpeba. Przez 2 lata gry w ASM zagrał tam tylko w 27 meczach i zdobył 6 bramek. Latem 1999 roku skorzystał z oferty Hellas Werona, ale pobyt we Włoszech był jeszcze większym niewypałem i po pół roku Špehar spakował walizki i wyjechał do Lizbony, gdzie podpisał kontrakt z tamtejszym Sportingiem. Jednak kolejne lata w karierze Špehara nadal nie należały do udanych – ze Sportingu zajął co prawda 3. miejsce w lidze (2000/2001), ale nie miał miejsca w składzie. Kolejny przystanek to Galatasaray SK, w którym Robert przez pół sezonu rozegrał tylko 1 ligowy mecz, za to może czuć się mistrzem Turcji. Od zimy 2001 był graczem Standardu Liège, ale powrót do Belgii także mu nie wyszedł i Špehar rzadko wybiegał na boisko. W 2003 roku po wojażach po Europie zdecydował się powrócić do ojczyzny i po raz trzeci w swojej karierze przywdział barwy NK Osijek. 18 bramek w 27 meczach dało mu trzecią w karierze koronę ligowego króla strzelców i tym samym Špehar potwierdził, że w Osijeku czuje się najlepiej. Sezon 2004/2005 to już piłkarska emerytura na Cyprze i po grze w tamtejszej Omonii Nikozja Špehar zdecydował się zakończyć piłkarską karierę.
