Przestrzeń dyskretna – przestrzeń topologiczna z topologią taką, że punkty zbioru są w pewnym sensie od siebie „oddzielone”.
Niech dany będzie dowolny niepusty zbiór
- Topologię dyskretną na definiuje się przyjmując, że dowolny podzbiór jest otwarty (a więc i domknięty). Wówczas zbiór wyposażony w topologię dyskretną nazywa się przestrzenią topologiczną dyskretną.
- Jednostajność dyskretną na definiuje się przyjmując, że każdy nadzbiór przekątnej jest otoczeniem. Zbiór wyposażony w jednostajność dyskretną nazywa się przestrzenią jednostajną dyskretną.
- Przestrzeń metryczną nazywa się przestrzenią metryczną dyskretną, jeżeli metryka jest metryką dyskretną, tj.
- dla dowolnych
- Przestrzeń metryczną nazywa się jednostajnie dyskretną, jeśli istnieje takie, że dla dowolnych jest bądź Aby topologia takiej przestrzeni metrycznej była dyskretna, metryka nie musi być jednostajnie dyskretna: przykładem może być standardowa metryka liczb rzeczywistych na zbiorze
Własności
Jednostajnością dyskretnej przestrzeni metrycznej jest jednostajność dyskretna, zaś topologią na dyskretnej przestrzeni jednostajnej jest topologia jednostajna. W ten sposób różne pojęcia przestrzeni dyskretnej są ze sobą zgodne.
Z drugiej strony topologia niedyskretnej przestrzeni jednostajnej lub metrycznej może być dyskretna; przykładem może być przestrzeń metryczna z metryką odziedziczoną z prostej rzeczywistej, która nie dyskretna; przestrzeń ta nie jest przestrzenią zupełną, nie jest więc dyskretna jako przestrzeń jednostajna – mimo to jest ona dyskretna jako przestrzeń topologiczna. O przestrzeni tej można więc powiedzieć, że jest dyskretna topologicznie, ale nie dyskretna jednostajnie, czy dyskretna metrycznie.
Twierdzenia
- Wymiar topologiczny przestrzeni dyskretnej wynosi 0.
- Przestrzeń topologiczna jest dyskretna otwarte są zbiory jednoelementowe
- Przestrzeń topologiczna jest dyskretna przestrzeń topologiczna nie zawiera żadnych punktów skupienia (tzn. każdy jego punkt jest izolowany).
- Zbiory jednoelementowe tworzą bazę topologii dyskretnej.
- Przestrzeń jednostajna jest dyskretna przekątna jest otoczeniem.
- Każda przestrzeń dyskretna spełnia wszystkie aksjomaty oddzielania (w szczególności jest ona przestrzenią Hausdorffa oraz przestrzenią normalną).
- Przestrzeń dyskretna jest zwarta przestrzeń jest skończona.
- Każda dyskretna przestrzeń jednostajna bądź metryczna jest zupełna.
- Każda dyskretna przestrzeń jednostajna lub metryczna jest całkowicie ograniczona przestrzeń jest skończona.
- Każda przestrzeń dyskretna spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności;
- Przestrzeń dyskretna spełnia drugi aksjomat przeliczalności (jest Lindelöfa) przestrzeń jest przeliczalna.
- Każda przestrzeń o co najmniej dwóch punktach jest całkowicie niespójna.
- Każda niepusta przestrzeń dyskretna jest drugiej kategorii.
- Dowolne dwie równoliczne przestrzenie dyskretne są homeomorficzne.
- Przestrzeń skończona jest metryzowalna, jeśli jest dyskretna[1].
- Jeśli jest dowolną przestrzenią topologiczną, zaś jest przestrzenią topologiczną dyskretną, to jest równo pokryta przez (przekształcenie rzutowe jest żądanym pokryciem).
- Skończony iloczyn kartezjański przestrzeni dyskretnych wyposażony w topologię produktową jest przestrzenią dyskretną.
- Dowolne przekształcenie przestrzeni topologicznej dyskretnej w inną przestrzeń topologiczną jest ciągłe.
- Dowolne odwzorowanie przestrzeni jednostajnej dyskretnej w inną przestrzeń jednostajną jest jednostajnie ciągłe.
- Odwzorowanie przestrzeni topologicznej w przestrzeń dyskretną jest ciągłe jest lokalnie stałe w tym sensie, że każdy punkt ma otoczenie, na którym odwzorowanie to jest stałe.
Zobacz też
Przypisy