Przestrzeń Urysohna (topologia ogólna)

Przestrzeń Urysohna (albo przestrzeń T_2½) – przestrzeń topologiczna o tej własności, że każde dwa jej różne punkty mają otoczenia, których domknięcia są rozłączne. Własność bycia przestrzenią Urysohna zalicza się do własności oddzielania. Przestrzenie o tej własności rozważał po razu pierwszy Paweł Urysohn^[1]. Pojęcie przestrzeni Urysohna jest różne od pojęcia przestrzeni całkowicie T₂.

Przykłady i własności

• Każda regularna przestrzeń T₁ jest przestrzenią Urysohna.
• Istnieje semiregularna przestrzeń Urysohna, która nie jest regularna. Istnieje przestrzeń Hausdorffa, która nie jest przestrzenią Urysohna.
• Istnieje przestrzeń Urysohna, będąca przestrzenią Hausdorffa, która nie jest semiregularna: Niech w zbiorze liczb rzeczywistych będzie dana topologia dyskretna. Rozważmy zbiór

${\displaystyle X=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}\cup \{p_{n}\colon n\in \mathbb {N} \},}$

gdzie ${\displaystyle -\infty ,\infty }$ oraz punkty ${\displaystyle p_{n}}$ nie należą do zbioru liczb rzeczywistych. Rozszerzmy topologię dyskretną w ${\displaystyle \mathbb {R} }$ w następujący sposób: każde otoczenie otwarte punktu ${\displaystyle \infty }$ jest postaci ${\displaystyle (a,\infty )\cup \{\infty \},}$ każde otoczenie otwarte punktu ${\displaystyle -\infty }$ jest postaci ${\displaystyle (-\infty ,a)\cup \{-\infty \}}$ dla pewnej liczby rzeczywistej ${\displaystyle a}$ oraz każde otoczenie otwarte punktu ${\displaystyle p_{n}}$ jest postaci ${\displaystyle \{p_{n}\}\cup P,}$ gdzie zbiór ${\displaystyle P}$ jest sumą po prawie wszystkich liczbach naturalnych ${\displaystyle k}$ zbiorów postaci ${\displaystyle (-k-1,-k)\cup (k,k+1).}$

• Własność bycia przestrzenią Urysohna nie zachowuje się poprzez przekształcenia domknięto-otwarte, jest jednak własnością dziedziczną, tzn. podprzestrzeń przestrzeni Urysohna jest również przestrzenią Urysohna.
• Produkt dowolnej rodziny przestrzeni Urysohna jest nadal przestrzenią Urysohna.

Przypisy

1. Urysohn, Paweł: Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen. Math. Ann. 94 (1925). s. 275–295.

Bibliografia

• Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1976, s. 83–84, 152–153.
• Willard Stephen: General Topology. Wyd. pierwsze. Reading Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company, 1970, s. 98–99.