Przestrzeń Jamesa

Przestrzeń Jamesa – pierwszy przykład przestrzeni Banacha, która jest izomorficzna ze swoją drugą przestrzenią sprzężoną, ale nie jest refleksywna.

Konstrukcja

Niech ${\displaystyle J}$ będzie przestrzenią liniową wszystkich ciągów liczb rzeczywistych ${\displaystyle x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ dla których

1. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=0.}$
2. ${\displaystyle \|x\|=\sup {\Big \{}{\Big (}\sum _{i=1}^{n}(x_{m_{2i-1}}-x_{m_{2i}})^{2}{\Big )}^{\tfrac {1}{2}}\colon \,0=m_{0}<m_{1}<\ldots <m_{n+1}{\Big \}}<\infty .}$

Funkcjonał ${\displaystyle \|\cdot \|}$ zdefiniowany wyżej jest normą w ${\displaystyle J.}$ Przestrzeń ${\displaystyle J}$ wraz z tą normą jest przestrzenią Banacha, nazywaną przestrzenią Jamesa.

Konstrukcję przestrzeni Jamesa można uogólnić na dowolne wykładniki ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty ,}$ zastępując warunek 2. powyżej warunkiem wraz z normą

${\displaystyle \|x\|_{p}=\sup {\Big \{}{\Big (}\sum _{i=1}^{n}|x_{m_{2i-1}}-x_{m_{2i}}|^{p}{\Big )}^{\tfrac {1}{p}}\colon \,0=m_{0}<m_{1}<\ldots <m_{n+1}{\Big \}}<\infty .}$

Przestrzeń taką oznacza się symbolem ${\displaystyle J_{p}}$ i nazywa p-tą przestrzenią Jamesa. Zdefiniowana wcześniej przestrzeń Jamesa jest przy tych oznaczeniach przestrzenią ${\displaystyle J_{2}.}$ Przypadek ${\displaystyle p=1}$ zwykle wyklucza się, gdyż przestrzeń ${\displaystyle J_{1}}$ jest izomorficzna z przestrzenią ℓ₁.

Podstawowe własności

Poniżej ${\displaystyle 1<p<\infty .}$

• Przestrzeń ${\displaystyle J_{p},}$ jest ośrodkowa, rodzina ciągów ${\displaystyle (e_{n})}$ które na ${\displaystyle n}$-tym miejscu mają wartość 1, a poza tym wszystkie inne wyrazy są równe zeru, jest jej bazą Schaudera. Przestrzeń Jamesa nie ma bezwarunkowej bazy Schaudera.
• Przestrzeń ${\displaystyle J_{p}}$ jest quasi-refleksywna rzędu 1, tzn. wymiar ${\displaystyle J_{p}^{**}/J_{p}}$ jest równy 1.
• Suma prosta ${\displaystyle J_{p}\oplus J_{p}}$ nie jest izomorficzna z ${\displaystyle J_{p}.}$
• Przestrzeń Jamesa ma słabą własność Banacha-Saksa^[1].

Przypisy

1. S. Prus, On infinite dimensional uniform smoothness of Banach spaces. Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae, vol. 40 (1999), issue 1, s. 97–105.

Bibliografia

• H. Fetter, B.G. de Buen, The James Forest, London Math. Soc. Lecture Note Series 236. (1997), Cambridge University Press, Cambridge.