Przestrzeń metryzowalna

Przestrzeń metryzowalna – przestrzeń topologiczna, w której można określić strukturę metryczną, czyli wprowadzić metrykę wyznaczającą topologię tej przestrzeni. Przestrzenie metryzowalne mają te same własności topologiczne co przestrzenie metryczne^[a]; w szczególności każda przestrzeń metryzowalna (metryczna) jest parazwartą przestrzenią Hausdorffa (a więc również normalna), a także spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności.

Przestrzeń topologiczną, w której nie da się wprowadzić metryki, nazywa się przestrzenią niemetryzowalną.

Twierdzenia o metryzacji

Pod nazwą twierdzenie o metryzacji rozumie się każde twierdzenie dające warunki wystarczające na to, by dana przestrzeń topologiczna była metryzowalna. Jednym z pierwszych twierdzeń tego typu były wyniki Pawła Urysohna mówiące, że:

• Przestrzeń zwarta Hausdorffa jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia drugi aksjomat przeliczalności.
• Przestrzeń spełniająca drugi aksjomat przeliczalności jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest regularną przestrzenią Hausdorffa.

Pierwsze z powyższych twierdzeń zostało udowodnione w 1924 roku^[1], drugie – rok później w przypadku przestrzeni normalnych^[2]. Twierdzenie w podanej tutaj wersji udowodnił Andriej Tichonow w 1926 roku^[3]. Wnioskiem z obydwu powyższych twierdzeń jest następujący fakt:

• Kostka Hilberta jest przestrzenią uniwersalną dla przestrzeni uniwersalnych ośrodkowych i dla przestrzeni metryzowalnych zwartych.

Jednym z klasycznych twierdzeń metryzacyjnych jest twierdzenie Nagaty-Smirnowa^[4][5], które mówi, że:

• Przestrzeń Hausdorffa jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest regularna i ma σ-lokalnie skończoną bazę.

Wzmocnieniem twierdzenia Nagaty-Smirnowa jest twierdzenie Binga^[6] (nazywane czasem twierdzeniem Nagaty-Binga-Smirnowa) mówiące, że:

• Przestrzeń Hausdorffa jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest regularna i ma bazę σ-dyskretną.

Korzystając z twierdzenia Binga można dowieść twierdzenia Kowalsky’ego:

• Iloczyn kartezjański przeliczalnie wielu kopii jeża ${\displaystyle J(\kappa )}$ jest przestrzenią uniwersalną dla przestrzeni metryzowalnych o ciężarze ${\displaystyle \kappa }$^[7].

Przestrzeń topologiczną nazywa się lokalnie metryzowalną, jeśli każdy jej punkt ma metryzowalne otoczenie. Smirnow dowiódł, że przestrzeń lokalnie metryzowalna jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest Hausdorffa i parazwarta; w szczególności rozmaitość jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest parazwarta.

Innymi przykładami twierdzeń o metryzacji są m.in. twierdzenie Archangielskiego, twierdzenie Moore’a czy twierdzenie Aleksandrowa-Urysohna.

Przykłady przestrzeni niemetryzowalnych

Każda przestrzeń metryczna jest normalna, więc przestrzenie które nie są normalne nie są tym samym metryzowalne.

• Prosta Sorgenfreya nie jest metryzowalna; jednak jest ona Hausdorffa, parazwarta i spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności.
• Prosta Aleksandrowa jest lokalnie metryzowalna, ale nie jest metryzowalna.
• przestrzeń liniowo-topologiczna wszystkich funkcji ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ z topologią zbieżności punktowej^[b] (zob. przestrzeń funkcyjna).
• topologia Zariskiego na rozmaitości algebraicznej lub na spektrum pierścienia (pojęcie geometrii algebraicznej) – przestrzeń z topologią Zariskiego nie jest nawet przestrzenią Hausdorffa, więc nie może być metryzowalna.

Uwagi

1. Wynika to stąd, iż odwzorowanie tożsamościowe jest homeomorfizmem.
2. Topologia ta pokrywa się z topologią Tichonowa w produkcie ${\displaystyle \mathbb {R^{R}} .}$

Przypisy

1. Urysohn, Paweł: Über die Metrisation der kompakten topologischen Räume, Math. Ann. 92 (1924), s. 275–293.
2. Urysohn, Paweł: Zum Metrisationproblem. Math. Ann. 94 (1925). s. 309–315.
3. Tichonow, Andriej: Über einen Metrisationssatz von P. Urysohn. Math. Ann. vol. 95 (1926) s. 139–142.
4. Nagata J.: On a necessary and sufficient condition of metrizability, J. Inst. Poly. Osaka City Univ. 1 (1950), s. 93–100.
5. Smirnow Jurij: On metrization of topological spaces, Uspekhi. Matem. Nauk 6 (1951). s. 100–111.
6. Bing R.H.: Metrization of topological spaces Canad. J. Math., 3 (1951) s. 175–186.
7. Swardson, M.A.: A short proof of Kowalsky’s hedgehog theorem, „Proceedings of the American Mathematical Society” 75 (1979). s. 188. pdf.