Przestrzeń jednorodna – dla danej grupy
niepusta rozmaitość lub przestrzeń topologiczna
na której
działa przechodnio poprzez symetrie w sposób ciągły. Szczególnym przypadkiem jest, gdy rozważana grupa topologiczna
jest grupą homeomorfizmów przestrzeni
Wówczas
jest jednorodna, jeżeli intuicyjnie
„wygląda wszędzie tak samo”[1]. Niektórzy autorzy nalegają, by działanie
było efektywne (tzn. wierne), choć w artykule nie zakłada się tego. Istnieje zatem działanie grupy
na
o którym można myśleć, że zachowuje pewną „strukturę geometryczną” na
czyniąc z
pojedynczą G-orbitę.
Definicja
Niech
będzie niepustym zbiorem, a
będzie grupą. Parę
nazywa się
-przestrzenią, jeżeli
działa na
[a]. Zauważmy, że
musi działać na zbiorze poprzez automorfizmy (bijekcje). Jeżeli
należy do tej pewnej kategorii, to przyjmuje się, że elementy
działają jako automorfizmy w tej kategorii. Stąd odwzorowania na
wyznaczane przez
zachowują strukturę przestrzeni. Przestrzeń jednorodna to
-przestrzeń, na której
działa przechodnio.
Zwięźle, jeśli
jest obiektem kategorii
to strukturą
-przestrzeni jest homomorfizm
![{\displaystyle \varrho \colon G\to \operatorname {Aut} _{\mathbf {C} }(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fef11359eb53a214f703d8f456314355e82a100)
w grupę automorfizmów obiektu
kategorii
Para
definiuje przestrzeń jednorodną, gdzie
jest przechodnią grupą symetrii na zbiorze
Przykłady
Jeśli
jest przestrzenią topologiczną, to o elementach grupy zakłada się, iż działają na
jako homeomorfizmy. Strukturą
-przestrzeni jest homomorfizm grup
w grupę homeomorfizmów
Podobnie, jeżeli
jest rozmaitością różniczkową, to elementami grupy są dyfeomorfizmy. Strukturą
-przestrzeni jest homomorfizm grup
w grupę dyfeomorfizmów
Geometria
W duchu programu erlangeńskiego, geometria
może być rozumiana jako geometria, w której „wszystkie punkty są takie same”. Jest to prawdą dla właściwie wszystkich geometrii przedstawionych przed geometrią riemmanowską z połowy XIX wieku.
W ten sposób przestrzenie euklidesowe, przestrzenie afiniczne i przestrzenie rzutowe są naturalnymi przykładami przestrzeni jednorodnych względem odpowiednich grup symetrii. Tak samo ma się rzecz z modelami geometrii nieeuklidesowych o stałej krzywiźnie, np. przestrzeń hiperboliczna.
Kolejnym klasycznym przykładem jest podprzestrzeń prostych trójwymiarowej przestrzeni rzutowej (równoważnie: podprzestrzeń dwuwymiarowych podprzestrzeni czterowymiarowej przestrzeni liniowej). Metodami algebry liniowej pokazuje się, że pełna grupa liniowa
działa na niej przechodnio. Wspomniane proste można sparametryzować współrzędnymi liniowymi: są to minory typu 2×2 macierzy typu 2×4 o kolumnach zawierających dwa wektory bazowe podprzestreni. Geometrią otrzymanej przestrzeni jednorodnej jest geometria liniowa Juliusa Plückera.
Przestrzenie jednorodne jako przestrzenie warstw
Ogólnie, jeżeli
jest przestrzenią jednorodną, a
jest stabilizatorem pewnego ustalonego punktu
(wybór początku), to punkty
odpowiadają warstwom lewostronnym
W ogólności różne wybory początku
będą dawać iloraz
przez inną podgrupę
która związana jest z
przez automorfizm wewnętrzny
Dokładniej,
| | ![{\displaystyle H_{o'}=gH_{o}g^{-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/837382bde92a61394595de4fadd1ef23bc7311ae) |
|
(1) |
gdzie
jest dowolnym elementem
dla którego
Zauważmy, że automorfizm wewnętrzny (1) nie zależy od wybory
lecz tylko od
modulo
Jeżeli działanie
na
jest ciągłe, to
jest domkniętą podgrupą
W szczególności, jeśli
jest grupą Liego, to
jest domkniętą podgrupą Liego na mocy twierdzenia Cartana. Stąd
jest rozmaitością gładką, a więc
jest wyposażona w wyznaczoną jednoznacznie strukturę gładką zgodną z działaniem grupy.
Jeżeli
jest podgrupą trywialną
to
jest główną przestrzenią jednorodną.
Przykład
W przypadku geometrii liniowej można na przykład utożsamiać
z 12-wymiarową podgrupą 16-wymiarowej pełnej grupy liniowej
zdefiniowanej poprzez następujące warunki na elementy macierzy
![{\displaystyle h_{13}=h_{14}=h_{23}=h_{24}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8741a05845a18aacde28a9534e19976727a4d90)
szukając stablizatora podprzestrzeni rozpinanej przez dwa pierwsze wektory bazy standardowej. Dowodzi to, że
jest wymiaru 4.
Ponieważ istnieje 6 wyznaczonych przez minory współrzędnych jednorodnych, to oznacza to, że nie są one od siebie niezależne. Istotnie, między wspomnianymi sześcioma minorami zachodzi zależność kwadratowa znana już XIX-wiecznym geometrom.
Przykład ten był pierwszym znanym przykładem grasmannianu innego niż przestrzeń rzutowa. Istnieje wiele innych przestrzeni jednorodnych klasycznych grup liniowych powszechnie stosowanych w matematyce.
Prejednorodne przestrzenie liniowe
Idea prejednorodnej przestrzeni liniowej (ang. prehomogeneous vector space) została przedstawiona przez Mikio Sato.
Jest to skończenie wymiarowa przestrzeń liniowa
z działaniem grupy algebraicznej
takiej, że istnieje orbita
która jest otwarta w topologii Zariskiego (w konsekwencji: gęsta). Przykładem może być
działająca na przestrzeni jednowymiarowej.
Definicja jest bardziej ograniczająca, niż się wydaje na początku: takie przestrzenie mają niezwykłe własności; istnieje także klasyfikacja nierozkładalnych prejednorodnych przestrzeni liniowych co do przekształcenia znanego jako „roszowanie” (ang. castling).
Zastosowania w fizyce
Kosmologia wykorzystująca ogólną teorię względności korzysta z systemu klasyfikacji Bianchiego. Przestrzenie jednorodne reprezentują część przestrzenną przestrzeni metrycznych pewnych modeli kosmologicznych; np. trzy przypadki metryki Friedmanna-Lemaître’a-Robertsona-Walkera mogą być reprezentowane przez podzbiory Bianchiego typu I (płaskiego), V (otwartego), VII (płaskiego lub otwartego) i IX (domkniętego), podczas gdy uniwersum Mixmaster reprezentuje anizotropowy przykład kosmologii Bianchiego IX.[2]
Przestrzeń jednorodna wymiaru
określa
wektorów Killinga[3]. W przypadku trójwymiarowym daje to całkowitą liczbę sześciu liniowo niezależnych pól wektorowych Killinga; trójwymiarowe przestrzenie jednorodne mają tę własność, iż do znalezienia trzech nieznikających pól wektorowych
![{\displaystyle \xi _{[i;k]}^{(a)}=C_{\ bc}^{a}\xi _{i}^{(b)}\xi _{k}^{(c)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f60da26d55ac68935bb528a6463aef3cd09bf777)
- gdzie obiekt
tzw. „stała strukturalna”, jest stałym tensorem rangi 3 antysymetrycznym ze względu na dwa dolne wskaźniki (nawiasy kwadratowe po lewej oznaczają antysymetryzację, a średnik oznacza operator pochodnej kowariantnej),
można użyć kombinacji liniowych wspomnianych sześciu pól. W przypadku płaskiego uniwersum izotropowego, jedną możliwością jest
(typ I), ale w przypadku domkniętego uniwersum FLRW,
gdzie
jest symbolem Leviego-Civity.
Zobacz też
Uwagi
- ↑ Przyjmujemy, że działanie jest lewostronne. Rozróżnienie jest istotne tylko w opisie
jako przestrzeni warstw.
Przypisy