Przestrzeń ściśle wypukła
Przestrzeń ściśle wypukła – przestrzeń unormowana o tej własności, że brzeg kuli jednostkowej (tj. sfera jednostkowa) tej przestrzeni nie zawiera odcinka, tj. każda prosta w przestrzeni ma co najwyżej dwa punkty wspólne ze sferą jednostkową.
Definicje równoważne
Niech będzie przestrzenią Banacha. Wówczas następując warunki są równoważne:
jest ściśle wypukła,
- jeżeli
są elementami sfery jednostkowej przestrzeni to ![{\displaystyle \|x+y\|<2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e64dd8d7f23865c39f0bed1bddd4d5b7a55fd6c)
- jeżeli
są elementami sfery jednostkowej przestrzeni to dla wszelkich ![{\displaystyle 0<\alpha <1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d17a632e9e78cf257271a40a5a928c1e6c705b3)
- jeżeli
i są niezerowymi elementami przestrzeni oraz to dla pewnej liczby [1].
Przykłady
- Przestrzeń c0 nie jest ściśle wypukła, gdyż dla
jednak i nie są liniowo zależne[2]. Ogólniej, jeżeli przestrzeń zwarta Hausdorffa ma co najmniej 2 punkty, to przestrzeń funkcji ciągłych nie jest ściśle wypukła[2].
- Dla
przestrzeń ℓp (bądź ) jest ściśle wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy (W tym przypadku, z nierówności Hannera wynika, że są one jednostajnie wypukłe).
Przenormowania ściśle wypukłe
- Jeżeli
jest przestrzenią ściśle wypukłą, a jest taką przestrzenią Banacha, że istnieje różnowartościowy, ograniczony operator liniowy to wzór określa normę równoważną w która jest ściśle wypukła. W konsekwencji, w każdej ośrodkowej przestrzeni Banacha można wprowadzić normę równoważną, która jest ściśle wypukła, ponieważ istnieje operator różnowartościowy ![{\displaystyle T\colon X\to \ell _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59fa5268c2d020f1ec5c545644d15a45bb8508a3)
- Day wykazał, że dla każdego zbioru nieprzeliczlnego
przestrzeń wszystkich ograniczonych funkcji rzeczywistych na nie ma równoważnej normy ściśle wypukłej (nie ma takiej normy podprzestrzeń przestrzeni ) złożona z tych funkcji których co najwyżej przeliczalnie wiele współrzędnych jest niezerowych[3] W tej samej pracy, Day wykazał, że w istnieje równoważna norma ściśle wypukła. Amir i Lindenstrauss wykazali, że dla każdej przestrzeni typu WCG istnieje różnowartościowy, ograniczony operator liniowy dla pewnego zbioru [4]. W konsekwencji w każdej przestrzeni typu WCG można wprowadzić równoważną normę ściśle wypukłą.
- Operator
dany wzorem jest ograniczony i różnowartościowy, a zatem w przestrzeni można wprowadzić równoważną normę ściśle wypukłą. Bourgain udowodnił, że w przestrzeni ilorazowej nie ma ściśle wypukłej normy równoważnej[5].
Przypisy
- ↑ Megginson 1998 ↓, s. 432.
- ↑ a b Megginson 1998 ↓, s. 428.
- ↑ M. M. Day, Strict convexity and smoothness of normed spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 78, 516–528 (1955).
- ↑ D. Amir, J. Lindenstrauss, The structure of weakly compact sets in Banach spaces, Ann. of Math. 88 (1968), 35–64.
- ↑ J. Bourgain, ℓ∞ / c0 has no equivalent strictly convex norm, Proc. Amer. Math. Soc. 78 (1980), 225–226.
Bibliografia
- Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag: New York, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183. Brak numerów stron w książce
|
|