Promień spektralny

Promień spektralny elementu ${\displaystyle a}$ algebry zespolonej z jedynką ${\displaystyle A}$ – liczba nieujemna ${\displaystyle \nu _{A}(a),}$ zdefiniowana wzorem

${\displaystyle \nu _{A}(a)=\sup\{|z|\colon z\in \sigma _{A}(a)\},}$

gdzie symbol ${\displaystyle \sigma _{A}(a)}$ oznacza widmo elementu ${\displaystyle a}$ w algebrze ${\displaystyle A,}$ tzn. zbiór

${\displaystyle \sigma _{A}(a)=\{z\in \mathbb {C} \colon ze_{A}-a\notin {\mbox{GL}}(A)\},}$

przy czym ${\displaystyle \mathrm {GL} (A)}$ oznacza grupę elementów odwracalnych w algebrze ${\displaystyle A}$ oraz ${\displaystyle e_{A}}$ jedynkę w tej algebrze. W przypadku, gdy widmo elementu ${\displaystyle a}$ jest puste, definiuje się

${\displaystyle \nu _{A}(a)=0.}$

Pojęcie promienia spektralnego ma również sens dla elementów algebr, które nie mają jedynki – w tym przypadku każdy element ${\displaystyle a}$ algebry ${\displaystyle A,}$ która nie ma jedynki utożsamia się z elementem algebry ${\displaystyle A^{\#},}$ powstałej z ${\displaystyle A}$ poprzez dołączenie jedynki.

Podstawowe własności. Wzór Gelfanda

Niech ${\displaystyle A}$ będzie zespoloną algebrą Banacha z jedynką oraz niech ${\displaystyle a}$ będzie dowolnym elementem ${\displaystyle A.}$ Wówczas

• widmo ${\displaystyle \sigma _{A}(a)}$ jest niepustym, zwartym podzbiorem płaszczyzny zespolonej; w szczególności, jeżeli ${\displaystyle a\neq 0,}$ to promień spektralny ${\displaystyle \nu _{A}(a)}$ jest dodatni.
• dla każdej liczby naturalnej ${\displaystyle k}$ oraz dla każdego ${\displaystyle r>\nu _{A}(a)}$

${\displaystyle a^{k}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\{|z|=r\}}\zeta ^{k}(\zeta e_{A}-a)^{-1}d\zeta ,}$

• ${\displaystyle \nu _{A}(a)=\inf\{\|a^{n}\|^{\frac {1}{n}}\colon \;n\in \mathbb {N} \}=\lim _{n\to \infty }\|a^{n}\|^{\frac {1}{n}}.}$

Ostatni wzór powyżej nazywany jest wzorem Gelfanda; został on nazwany na cześć Israela M. Gelfanda, który udowodnił go w roku 1941^[1]. Ze zwartości widma elementów algeby Banacha wynika, że

${\displaystyle \nu _{A}(a)=\max\{|z|\colon z\in \sigma _{A}(a)\}.}$

Jeżeli ${\displaystyle a}$ jest zespoloną macierzą kwadratową, to jej promień spektralny jest największą liczbą spośród modułów jej wartości własnych.

Własności

Operatory liniowe i ograniczone działające na ustalonej przestrzeni unormowanej ${\displaystyle E}$ tworzą algebrę unormowaną ze składaniem operatorów jako mnożeniem oraz normą operatorową. Poniżej ${\displaystyle E}$ jest ustaloną przestrzenią unormowaną o wymiarze co najmniej 1 oraz ${\displaystyle T,T_{1},T_{2}\colon E\to E}$ są operatorami liniowymi i ciągłymi. W oznaczeniach promienia spektralnego i widma symbol algebry został pominięty.

• Jeżeli ${\displaystyle \lambda }$ jest skalarem, to

${\displaystyle \nu (\lambda T)=|\lambda |\nu (T).}$

• Jeżeli ${\displaystyle k}$ jest liczbą naturalną, to

${\displaystyle \nu (T^{k})=\nu (T)^{k}.}$

• ${\displaystyle \nu (T_{1}T_{2})=\nu (T_{2}T_{1}),}$ jeżeli ponadto ${\displaystyle T_{1}T_{2}=T_{2}T_{1},}$ to

${\displaystyle \nu (T_{1}T_{2})\leqslant \nu (T_{1})\nu (T_{2}),}$

${\displaystyle \nu (T_{1}+T_{2})\leqslant \nu (T_{1})+\nu (T_{2}).}$

• Jeżeli ${\displaystyle E}$ jest przestrzenią Hilberta oraz ${\displaystyle T}$ jest operatorem normalnym, to

${\displaystyle \nu (T)=\|T\|.}$

Promień spektralny w ilorazowych C*-algebrach

Niech ${\displaystyle A}$ będzie C*-algebrą oraz nieh ${\displaystyle I\subseteq A}$ będzie domkniętym ideałem (dwustronnym} w ${\displaystyle A}$). Niech ${\displaystyle \pi \colon A\to A/I}$ oznacza kanoniczne odwzorowanie ilorazowe, tj. ${\displaystyle \pi (x)=[x](x\in A).}$ Wówczas dla dowolnego ${\displaystyle x\in A}$ oraz liczby naturalnej ${\displaystyle k}$ zachodzą wzory

${\displaystyle \|\pi (x^{k})\|=\inf _{y\in I}\|(x+y)^{k}\|}$

oraz

${\displaystyle \nu {\big (}\pi (x){\big )}=\inf _{y\in I}\nu (x+y).}$

Jest to twierdzenie udowodnione przez G.K. Pedersena^[2].

Przypisy

1. I. M. Gelfand, Normierte Ringe, „Mat. Sb.” (N.S.) 9 (51) (1941), s. 3–24.
2. G. K. Pedersen, Spectral Formulas in Quotient C*-Algebras, „Mathematische Zeitschrift” 148 (1976), s. 299–300.

Bibliografia

• H.G. Dales, Banach algebras and automatic continuity, Clarendon Press, Oxford 2000, s. 78, 183, 193.