Operator delta

Operator delta – pewien wariant operatora równoważny przekształceniu liniowemu ${\displaystyle Q\colon \mathbb {K} [x]\longrightarrow \mathbb {K} [x]}$ w przestrzeni wektorowej wielomianów ze zmienną ${\displaystyle x,}$ nad ciałem ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ które redukuje stopnie o jeden.

Wstęp

Stwierdzenie, że ${\displaystyle Q}$ jest pewnym wariantem operatora równoważnego operatorowi przesunięcia znaczy, że jeśli ${\displaystyle g(x)=f(x+a),}$ to wówczas

${\displaystyle (Qg)(x)=(Qf)(x+a).}$

Innymi słowy, jeśli ${\displaystyle f}$ jest „przesunięciem” ${\displaystyle g,}$ wówczas ${\displaystyle Qf}$ jest także przesunięciem ${\displaystyle Qg,}$ i ma taki sam „wektor przesunięcia” ${\displaystyle a.}$

Stwierdzenie, że operator redukuje stopień o jeden oznacza, że jeśli ${\displaystyle f}$ jest wielomianem stopnia ${\displaystyle n,}$ wówczas ${\displaystyle Qf}$ jest albo wielomianem stopnia ${\displaystyle n-1}$ albo, w przypadku ${\displaystyle n=0,}$ ${\displaystyle Qf}$ jest równy ${\displaystyle 0.}$

Czasami operator delta jest definiowany jako wariant operatora równoważnego operatorowi przesunięcia w zmiennej ${\displaystyle x,}$ która przekształca ${\displaystyle x}$ do stałej niezerowej. Można pokazać, że taka charakterystyka, wyraźnie słabsza niż definicja dana powyżej, jest jej równoważna, jako że wariantowość operatora równoważnego operatorowi przesunięcia stanowi silny warunek.

Przykłady

• Operator różnicowy w przód

${\displaystyle (\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)}$

jest operatorem delta.

• Różniczkowanie względem ${\displaystyle x,}$ zapisywane jako ${\displaystyle D,}$ także jest operatorem delta.
• Każdy operator w formie

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }c_{k}D^{k},}$

gdzie (${\displaystyle D^{n}(f)=f^{(n)}}$ jest n-tą pochodną) z ${\displaystyle c_{1}\neq 0}$ jest operatorem delta. Można wykazać, że wszystkie operatory delta można zapisać w tej formie. Na przykład operator różnicowy dany powyżej można rozwinąć do postaci:

${\displaystyle \Delta =e^{D}-1=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {D^{k}}{k!}}.}$

• Uogólniona pochodna przestrzeni czasowej, która unifikuje operator różnicowy w przód z pochodną standardowego rachunku jest operatorem delta.
• W informatyce i cybernetyce termin dyskretnoczasowy operator delta ${\displaystyle \delta }$ zwykle oznacza operator różnicowy:

${\displaystyle (\delta f)(x)={\frac {f(x+\Delta t)-f(x)}{\Delta t}},}$

aproksymację Eulera zwyczajnej pochodnej z dyskretnym czasem próbkowania ${\displaystyle \Delta t.}$ Przy szybkim próbkowaniu sformułowanie oparte na operatorze delta posiada znaczącą ilość numerycznych zalet w porównaniu do operatora przesunięcia.

Operator delta w teorii sterowania

Posługując się zmienną płaszczyzny z ${\displaystyle (z=e^{sT}),}$ operator delta można wyrazić jako

${\displaystyle \delta ={\frac {z-1}{T}},}$

co korzystając z jednokrokowego operatora przesunięcia, można też zapisać

${\displaystyle \delta ={\frac {q-1}{\Delta }},}$

gdzie ${\displaystyle q}$ to jednokrokowy operator przesunięcia określony zależnością ${\displaystyle qx_{k}=x_{k+1},}$ a ${\displaystyle \Delta }$ oznacza okres próbkowania, stąd:

${\displaystyle \delta x_{k}={\frac {(q-1)x_{k}}{\Delta }}={\frac {x_{k+1}-x_{k}}{\Delta }}.}$

Operator ten znany był na polu analiz numerycznych jako pierwszy dzielony operator różnicowy. Z powyższego widać, ze operator ten aproksymuje pochodną:

${\displaystyle \delta x_{k}\approx {\frac {dx}{dt}}|_{x=x(k\Delta )}}$

i aproksymacja staje się coraz lepsza jak okres próbkowania zmierza do zera. Dlatego, z uwagi na to, że operator ${\displaystyle \delta }$ ma swój czasowy odpowiednik ${\displaystyle \rho ={\frac {d}{dt}},}$ modele wyrażone za pomocą operatora ${\displaystyle \delta }$ są bardzo podobne do modeli wyrażonych za pomocą operatora ${\displaystyle \rho ,}$ lub zmiennej s (transformaty Laplace’a). Z tego też względu korzystanie z operatora ${\displaystyle \delta }$ pozwala przy pracy z układami czasu dyskretnego na wykorzystanie wglądu i intuicji znanych z układów dziedziny czasu ciągłego.

Chociaż ${\displaystyle \rho }$ używa się do reprezentowania różniczkowania w dziedzinie czasu ciągłego, może też reprezentować operator ${\displaystyle \delta .}$ Każde sformułowanie uzyskane z wykorzystaniem wyrazeń ${\displaystyle \rho }$ może zostać zinterpretowane jako wyrażenia czasu dyskretnego poprzez zastąpienie ${\displaystyle \rho }$ przez ${\displaystyle \delta {:}}$

${\displaystyle \rho =\left\{{\begin{matrix}{\frac {d}{dt}}&\Delta =0\\\delta &\Delta \neq 0\end{matrix}}\right..}$

Powyższa zależność definiuje tak zwaną pochodną uogólnioną. Podobnie można zdefiniować uogólnienie całki Riemanna. Istotnie występuje bliski związek pomiędzy wynikami sformułowanymi dla czasu ciągłego z wynikami formułowanymi dla czasu dyskretnego – używając operatora ${\displaystyle \delta }$ w dziedzinie czasu dyskretnego, można przyjąć dla niego ${\displaystyle \Delta =0}$ co daje odpowiadające wyniki czasu ciągłego.

Dla operatora ${\displaystyle \delta }$ definiuje się też odpowiednik transformaty Fouriera dokonującej przekształcenia opisu do dziedziny częstotliwości jest to tzw. transformata ${\displaystyle \Gamma }$ z nową zmienną ${\displaystyle \gamma }$ jako:

${\displaystyle F_{\Delta }(\gamma )=F(z)|_{z=\Delta _{\gamma +1}}=\sum _{k=0}^{k=\infty }f_{k}(1+\Delta \gamma )^{-k}.}$

Operator delta posiada też szereg własności pozytywnie wpływających na obliczenia numeryczne. W wielu przypadkach parametryzacja algorytmów czasu dyskretnego za pomocą operatora ${\displaystyle \delta }$ daje lepsze efekty niż parametryzacja za pomocą jednokrokowego operatora przesunięcia ${\displaystyle q.}$ Dotyczy to w szczególności:

• przy filtracji cyfrowej: skutków skończonej długości słowa, wrażliwości odpowiedzi częstotliwościowej, efektów zaokrąglania,
• przy optymalnej estymacji stanu: warunkowania równań Riccatiego,
• estymacji parametrów metodą najmniejszych kwadratów: warunkowania macierzy kowariancji.

Operator ${\displaystyle \delta }$ ma duże znaczenie przy analizie (i syntezie) układów dyskretnych, gdyż jednokrokowy operator przesunięcia i transformata Z, które stanowią podstawę takich analiz są nieodpowiednie dla dużych częstotliwości próbkowania i nie mają odpowiedników czasu ciągłego.

Przy korzystaniu z operatora ${\displaystyle \delta }$ staje się jasne, że teoria układów czasu dyskretnego zbieżna jest łagodnie do teorii układów ciągłych wraz ze wzrostem częstotliwości próbkowania.

Bibliografia

• Brett M. Ninness, Graham C. Goodwin The Relationship Between Discrete Time and Continuous Time Linear Estimation, [w:] N.K. Sinha i G.P. Rao Identification of Continuous-Time Systems, 1991, Kluwer Academic Publishers, ISBN 0-7923-1336-4.
• Richard H. Middleton, Graham C. Goodwin Digital Control and Estimation. A Unified Approach, 1990, Prentice-Hall International, ISBN 0-13-211798-3.