Swoją karierę piłkarską Mert Günok rozpoczął w klubie Kocaelispor. W 2001 roku podjął treningi w Fenerbahçe SK. W 2009 roku awansował do kadry pierwszej drużyny. 15 sierpnia 2010 zadebiutował w tureckiej lidze w wygranym 4:0 domowym meczu z Antalyasporem. W Fenerbahçe stał się rezerwowym bramkarzem dla Volkana Demirela. W sezonie 2010/2011 wywalczył z Fenerbahçe mistrzostwo Turcji, a w sezonie 2011/2012 zdobył z tym klubem Puchar Turcji. W sezonie 2012/2013 ponownie zdobył krajowy puchar, a w sezonie 2013/2014 został mistrzem kraju.
Latem 2015 Mert Günok przeszedł do Bursasporu, po tym jak Fenerbahçe nie przedłużyło wygasającego kontraktu z nim[1]. W ciągu dwóch lat zagrał 20 meczów ligowych w barwach drużyny z Bursy. W 2017 rok mając kontrakt ważny jeszcze przez rok zdecydował się na przenosiny do İstanbul Başakşehir[2]. W pierwszym sezonie występował jedynie w Pucharze Turcji i Lidze Europy, jednak od sezonu 2018/2019 stał się podstawowym bramkarzem w drużynie. W sezonie 2019/2020 wywalczył z klubem mistrzostwo Turcji.
Mert Günok występował w młodzieżowych reprezentacjach Turcji na wielu szczeblach wiekowych. 24 maja 2012 zadebiutował w dorosłej reprezentacji w wygranym 3:1 towarzyskim meczu z Gruzją, rozegranym w Salzburgu.