Liczba nieosiągalna – regularna graniczna liczba kardynalna. Regularne silnie graniczne liczby kardynalne nazywane są liczbami silnie nieosiągalnymi. Liczby nieosiągalne są najprostszymi przykładami dużych liczb kardynalnych.
Istnieją pewne niekonsekwencje w terminologii dotyczącej liczb nieosiągalnych. Niektórzy autorzy używają nazwy liczby słabo nieosiągalne na oznaczenie granicznych liczb regularnych rezerwując nazwę liczba nieosiągalna dla silnie granicznych regularnych liczb kardynalnych.
Definicje
- Liczba porządkowa
jest początkową liczbą porządkową jeśli
nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą. Początkowe liczby porządkowe są też nazywane liczbami kardynalnymi.
- Dla liczby kardynalnej
określamy:
jest pierwszą liczbą kardynalną większą od
(jest to tzw. następnik
),
jest mocą rodziny wszystkich podzbiorów ![{\displaystyle \kappa .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5b15a4a55db753c5d952ba11b9d2d43924eeeaa)
- Liczba kardynalna
jest regularną liczbą kardynalną jeśli dla każdej rodziny zbiorów
takich że
dla wszystkich
oraz
mamy, że ![{\displaystyle \left|\bigcup \limits _{i\in I}A_{i}\right|<\kappa .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7466295aba680efb2b1e222b543490cfc862e1c)
- Liczba kardynalna
jest graniczną liczbą kardynalną jeśli
jest nieskończona oraz dla każdej liczby kardynalnej
mamy
Powiemy, że
jest silnie graniczną liczbą kardynalną, jeśli
jest nieskończona oraz dla każdej liczby kardynalnej
mamy ![{\displaystyle 2^{\mu }<\kappa .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d8552f883c6f9c5c94660feb53528f26ad2ce87)
Nieprzeliczalna liczba kardynalna
jest (słabo) nieosiągalna jeśli jest ona graniczna i regularna, a jest nazywana liczbą silnie nieosiągalną, jeśli jest ona silnie graniczna i regularna.
Własności i przykłady
- Definicja liczb nieosiągalnych jest sformułowana dla liczb nieprzeliczalnych tylko, aby wyeliminować trochę patologiczny przypadek pierwszej nieskończonej liczby kardynalnej
która jest regularna i silnie graniczna. Podobieństwo liczb nieosiągalnych do liczby
jest czasami wyrażane w stwierdzeniu, że liczby nieosiągalne mają się do liczb mniejszych tak jak
ma się do liczb skończonych.
- Jeśli
jest liczbą nieosiągalną, to ![{\displaystyle \aleph _{\kappa }=\kappa .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b5d6837d6c9400bd0f7de32929faa78e0d7ea27)
- Jeśli
jest liczbą silnie nieosiągalną, to ![{\displaystyle \beth _{\kappa }=\kappa .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc2ee2351786252aae2903a1925d86e0b159fe7a)
- Jeśli GCH jest spełnione, to każda liczba (słabo) nieosiągalna jest silnie nieosiągalna.
- W ZFC, jeśli
jest liczbą silnie nieosiągalną, to Vκ jest modelem ZFC. Zakładając ZF, jeśli
jest liczbą (słabo) nieosiągalną, to Lκ jest modelem ZFC. Zatem „ZF+ istnieje liczba nieosiągalna” implikuje, że „ZFC jest niesprzeczne”. Na mocy drugiego twierdzenia Gödla o niezupełności nie można udowodnić w ZFC że istnieją liczby nieosiągalne.
- Jeśli istnieją liczby nieosiągalne i
jest pierwszą taką liczbą, to Lκ jest modelem dla „ZFC + nie istnieją liczby nieosiągalne”. Zatem jeśli teoria ZFC jest niesprzeczna, to także teoria „ZFC + nie istnieją liczby nieosiągalne” jest niesprzeczna.