Jędrność (ciasność) (ang. tight) – pojęcie teorii miary formalizujące intuicyjną własność zbioru miar, które nie „uciekają do nieskończoności”. Twierdzenie charakteryzujące jędrne rodziny rozkładów nazywane jest twierdzeniem Prochorowa.
Definicja
Niech
będzie przestrzenią topologiczną, i niech
będzie σ-algebrą na
zawierającą topologię
(czyli każdy podzbiór otwarty w
jest mierzalny,
może być σ-algebrą borelowską na
). Niech
będzie rodziną miar określonych na
Rodzinę
nazywa się jędrną (bądź ciasną), jeżeli dla dowolnego
istnieje zwarty podzbiór
przestrzeni
że dla wszystkich miar
zachodzi
![{\displaystyle \mu (X\setminus K_{\varepsilon })<\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e233865748f0cc0f82001607c72d815fc1323805)
Często rozpatrywanymi miarami są miary probabilistyczne, wtedy ostatnia część może być równoważnie przedstawiona jako
![{\displaystyle \mu (K_{\varepsilon })>1-\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ee34286b217fc66ecf0e4abd78da95c964620e0)
Przykłady
Przestrzenie zwarte
Jeżeli
jest przestrzenią zwartą, to każda rodzina miar probabilistycznych na
jest jędrna.
Rodzina mas punktowych
Niech dana będzie prosta rzeczywista
z topologią naturalną (euklidesową).
Dla
niech
oznacza miarę Diraca skupioną w
Wówczas rodzina
![{\displaystyle M_{1}:=\{\delta _{n}\colon n\in \mathbb {N} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09bd2733c8ec80126c1ecde1bd8e314cc0de942a)
nie jest jędrna, ponieważ zwartymi podzbiorami
są te i tylko te, które są domknięte i ograniczone, a każdy taki zbiór, ponieważ jest ograniczony, jest
-miary zero dla dostatecznie dużych
Z drugiej strony, rodzina
![{\displaystyle M_{2}:=\{\delta _{1/n}\colon n\in \mathbb {N} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d7330acd54ae2e8db6ef4dffd2a37b335d4a1f7)
jest ciasna: przedział zwarty
będzie pełnił rolę
dla dowolnego
W ogólności rodzina miar delt Diraca na
jest jędrna wtedy i tylko wtedy, gdy rodzina ich nośników jest ograniczona.
Rodzina miar gaussowskich
Niech dana będzie
-wymiarowa przestrzeń euklidesowa
ze standardową topologią i σ-algebrą zbiorów borelowskich oraz rodzina miar gaussowskich
![{\displaystyle \Gamma =\{\gamma _{i}\colon i\in I\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4c8651c4c79a872dd940776fc175022d425bb9d)
gdzie zmienna losowa o rozkładzie
ma wartość oczekiwaną
oraz wariancję
Wtedy rodzina
jest jędrna wtedy i tylko wtedy, gdy obie rodziny
oraz
są ograniczone.
- Analiza przykładu w przypadku jednowymiarowym.
Niech
będą takie, że
oraz
dla wszystkich ![{\displaystyle i\in I.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3627df37846ed8181157cbb3195735ec0988baa)
Niech
będzie rozkładem normalnym ze średnią
oraz odchyleniem standardowym
Wykażemy, że rodzina miar
jest jędrna.
Niech będzie dane
Dla
oraz
niech
będzie dystrybuantą rozkładu normalnego
i niech
Z własności rozkładu normalnego wiemy, że:
- możemy znaleźć
takie, że
oraz ![{\displaystyle \Phi (-x^{*})={\frac {\varepsilon }{3}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c42bd60ad59603693f1fc5f384d845d8f659c040)
dla wszystkich ![{\displaystyle x\in \mathbb {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4d8bc4975cbd7987319e274bc069208e726f2cc)
Połóżmy
oraz ![{\displaystyle d^{+}=m^{*}+\sigma ^{*}\cdot x^{*}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6f91773db4be5c5c1301f251bb52eb83fbd4157)
Na mocy naszych założeń o
mamy, że dla
![{\displaystyle {\frac {m^{*}+\sigma ^{*}\cdot x^{*}-m_{i}}{\sigma _{i}}}\geqslant {\frac {m_{i}+\sigma _{i}\cdot x^{*}-m_{i}}{\sigma _{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74dd66716ba5b6629a4cad84d572e33eae2dfcaf)
oraz
![{\displaystyle {\frac {-m^{*}-\sigma ^{*}\cdot x^{*}-m_{i}}{\sigma _{i}}}\leqslant {\frac {m_{i}-\sigma _{i}\cdot x^{*}-m_{i}}{\sigma _{i}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5569eaa9fefa283fd81e975fe39613f0d600d225)
Stąd
![{\displaystyle \Phi _{m_{i},\sigma _{i}^{2}}(d^{+})=\Phi _{m_{i},\sigma _{i}^{2}}(m^{*}+\sigma ^{*}\cdot x^{*})=\Phi {\Big (}{\frac {m^{*}+\sigma ^{*}\cdot x^{*}-m_{i}}{\sigma _{i}}}{\Big )}\geqslant \Phi {\Big (}{\frac {m_{i}+\sigma _{i}\cdot x^{*}-m_{i}}{\sigma _{i}}}{\Big )}=\Phi (x^{*})=1-{\frac {\varepsilon }{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf7bb2329465eecd581c01a5fc3474fbf0f8d05c)
oraz
![{\displaystyle \Phi _{m_{i},\sigma _{i}^{2}}(d^{-})=\Phi _{m_{i},\sigma _{i}^{2}}(-m^{*}-\sigma ^{*}\cdot x^{*})=\Phi {\Big (}{\frac {-m^{*}-\sigma ^{*}\cdot x^{*}-m_{i}}{\sigma _{i}}}{\Big )}\leqslant \Phi {\Big (}{\frac {m_{i}-\sigma _{i}\cdot x^{*}-m_{i}}{\sigma _{i}}}{\Big )}=\Phi (-x^{*})={\frac {\varepsilon }{3}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75d9ae5a256f4c3e57c1ab4d752a89e882c561a2)
Teraz, dla każdego
mamy
![{\displaystyle \gamma _{i}([d^{-},d^{+}])=\Phi _{m_{i},\sigma _{i}^{2}}(d^{+})-\Phi _{m_{i},\sigma _{i}^{2}}(d^{-})\geqslant 1-{\tfrac {\varepsilon }{3}}-{\tfrac {\varepsilon }{3}}>1-\varepsilon ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a476669eddfd60c49c109620ea944b65f745833)
a zbiór
jest zwarty jako domknięty i ograniczony przedział prostej rzeczywistej, więc rodzina rozkładów
jest jędrna.
Jędrność a zbieżność
Jędrność jest często warunkiem koniecznym do udowodnienia słabej zbieżności ciągu miar probabilistycznych, szczególnie, przestrzeń mierzalna jest nieskończonego wymiaru. Zobacz
Jędrność wykładnicza
Uogólnieniem jędrności jest tzw. jędrność wykładnicza, która znalazła swoje zastosowania w teorii wielkich odchyleń. Rodzinę miar probabilistycznych
na przestrzeni topologicznej Hausdorffa
nazywa się jędrną (ciasną) wykładniczo, jeśli dla dowolnego
istnieje podzbiór zwarty
przestrzeni
taki, że
![{\displaystyle \limsup _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(X\setminus K_{\varepsilon })<-\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbf0455556e4d87dff636444b610dac7264d2be8)
Bibliografia
- Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004. Brak numerów stron w książce
- Patrick Billingsley: Probability and Measure. Nowy Jork: John Wiley & Sons, Inc., 1995. ISBN 0-471-00710-2. Brak numerów stron w książce
- Patrick Billingsley: Convergence of Probability Measures. Nowy Jork: John Wiley & Sons, Inc., 1999. ISBN 0-471-19745-9. Brak numerów stron w książce