Józef Witek w momencie wybuchu II wojny światowej został zmobilizowany i przydzielony do 1 pułku lotniczego. Po 17 września Józef Witek ewakuował się poprzez Rumunię i Francję do Wielkiej Brytanii, gdzie dotarł w czerwcu 1940 roku. Wstąpił do Polskich Sił Powietrznych, otrzymał numer służbowy RAF 794534.
Po przejściu szkolenia w brytyjskiej szkole lotniczej został przeniesiony do 300 dywizjonu bombowego Ziemi Mazowieckiej. W 1944 roku zgłosił się na ochotnika do 1586 eskadry do zadań specjalnych, która dokonywała lotów nad Warszawę z dostawami dla walczących powstańców. Dnia 14 sierpnia 1944 roku załoga w składzie:
wystartowała z lotniska w Brindisi we Włoszech. Po dokonaniu zrzutu w okolicach pl. Krasińskich w Warszawie samolot Liberator nr KG 890 został zaatakowany przez niemieckie myśliwce nad Puszczą Niepołomicką. Dowódca kpt. Zbigniew Szostak rozkazał opuszczenie palącego się samolotu. Załoga wyskoczyła na spadochronach, ale z powodu zbyt niskiej wysokości lotu większość spadochronów nie otworzyła się. Lotnicy zginęli na miejscu roztrzaskując się o ziemię. Liberator został zestrzelony przez niemieckiego asa Luftwaffe Gustava Eduarda Fracsi.
Józef Witek pośmiertnie został awansowany na sierżanta i odznaczony Orderem Virtuti Militari. Wcześniej był odznaczony trzykrotnie Krzyżem Walecznych. Został pochowany na cmentarzu w Pogwizdowie. Po wojnie szczątki wszystkich członków załogi zostały przeniesione na cmentarz wojskowy w Krakowie.
Olgierd Cumft, Hubert Kazimierz Kujawa: Księga lotników polskich poległych, zmarłych i zaginionych 1939-1946. Warszawa: Wydawnictwo Ministerstwa Obrony Narodowej, 1989. ISBN 83-11-07329-5. Brak numerów stron w książce
Tadeusz Jerzy Krzystek, [Anna Krzystek]: Polskie Siły Powietrzne w Wielkiej Brytanii w latach 1940-1947 łącznie z Pomocniczą Lotniczą Służbą Kobiet (PLSK-WAAF). Sandomierz: Stratus, 2012. ISBN 978-83-61421-59-7. OCLC276981965.