Iloczyny tensorowe C*-algebr

Iloczyny tensorowe C*-algebr – dla pary C*-algebr ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B,}$ C*-algebry będące uzupełnieniami C*-norm na (algebraicznym) iloczynie tensorowym ${\displaystyle A\odot B,}$ uzależnionych od norm w ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B.}$ W ogólności, może istnieć wiele nieizomorficznych iloczynów tensorowych danej pary C*-algebr. Każda C*-norma na ${\displaystyle A\odot B}$ jest normą krzyżową^[1], tj. spełnia warunek

${\displaystyle \|a\otimes b\|=\|a\|\cdot \|b\|\quad (a\in A,b\in B).}$

Iloczyny tensorowe C*-algebr były rozważane po raz pierwszy przez Takasi Turumaru w latach 50. XX w.^[2][3][4][5]

Minimalny iloczyn tensorowy C*-algebr

Niech ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ będą C*-algebrami oraz niech ${\displaystyle \pi _{1}\colon A\to {\mathcal {B}}(H_{1}),}$ ${\displaystyle \pi _{2}\colon B\to {\mathcal {B}}(H_{2})}$ będą, odpowiednio, ich reprezentacjami na przestrzeniach Hilberta ${\displaystyle H_{1}}$ i ${\displaystyle H_{2}.}$ Wzór

${\displaystyle (\pi _{1}\otimes \pi _{2})(a\otimes b)=\pi _{1}(a)\otimes \pi _{2}(b)\quad (a\in A,b\in B)}$

definiuje reprezentację ${\displaystyle \pi _{1}\otimes \pi _{2}}$ *-algebry ${\displaystyle A\odot B}$ na iloczynie tensorowym przestrzeni Hilberta ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}.}$

Minimalnym iloczynem tensorowym pary C*-algebr ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ nazywane jest uzupełnienie normy ${\displaystyle \|{\cdot }\|_{\min }}$ na ${\displaystyle A\otimes B}$ danej wzorem

${\displaystyle {\Big \|}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\otimes b_{k}{\Big \|}_{\min }=\sup _{\pi _{1},\pi _{2}}{\Big \|}\sum _{k=1}^{n}\pi _{1}(a_{k})\otimes \pi _{2}(b_{k}){\Big \|}\quad \;(a_{k}\in A,b_{k}\in B,k\leqslant n,n\in \mathbb {N} ),}$

gdzie supremum przebiega po wszystkich reprezentacjach ${\displaystyle \pi _{1},}$ ${\displaystyle \pi _{2},}$ odpowiednio, algebr ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B.}$ Minimalny iloczyn tensorowy jest zwykle oznaczany symbolem ${\displaystyle A\otimes _{\min }B.}$

Maksymalny iloczyn tensorowy C*-algebr

Maksymalnym iloczynem tensorowym pary C*-algebr ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ nazywane jest uzupełnienie normy ${\displaystyle \|{\cdot }\|_{\max }}$ na ${\displaystyle A\otimes B}$ danej wzorem

${\displaystyle {\Big \|}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\otimes b_{k}{\Big \|}_{\max }=\sup _{\pi }{\Big \|}\pi {\big (}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\otimes b_{k}{\big )}{\Big \|}\quad \;(a_{k}\in A,b_{k}\in B,k\leqslant n,n\in \mathbb {N} ),}$

gdzie supremum przebiega po wszystkich reprezentacjach ${\displaystyle \pi }$ (na przestrzeni Hilberta) *-algebry ${\displaystyle A\otimes B.}$ Maksymalny iloczyn tensorowy jest zwykle oznaczany symbolem ${\displaystyle A\otimes _{\max }B.}$

Nuklearne C*-algebry

Nazwy minimalny i maksymalny iloczyn tensorowy biorą się z następującego faktu – jeżeli ${\displaystyle \|{\cdot }\|_{*}}$ jest jakąkolwiek C*-normą na ${\displaystyle A\odot B,}$ to

${\displaystyle \|{\cdot }\|_{\min }\leqslant \|{\cdot }\|_{*}\leqslant \|{\cdot }\|_{\max }.}$

C*-algebra ${\displaystyle A}$ nazywana jest nuklearną, gdy dla każdej innej C*-algebry ${\displaystyle B}$ normy minimalnego i maksymalnego iloczynu tensorowego w ${\displaystyle A\otimes B}$ są równe, tj.

${\displaystyle \|x\|_{\min }=\|x\|_{\max }\quad (x\in A\odot B).}$

W przypadku tensorowania C*-algebry ${\displaystyle A}$ z nuklearną C*-algebrą ${\displaystyle B}$ symbolem ${\displaystyle A\otimes B}$ oznacza się najczęściej (jedyny) uzupełniony iloczyn tensorowy. Każda przemienna C*-algebra jest nuklearna.

Przypisy

1. B.J. Vowden, C*-Norms and tensor products of C*-algebras, „J. London Math. Soc.” (2), 7(1974), s. 595–596.
2. T. Turumaru, On the direct product of operator algebras, I, „Tohoku Math. J.”, 4 (1952), s. 242–151.
3. T. Turumaru, On the direct-product of operator algebras, II. „Tohoku Math. J.” 5 (1953), s. 1–7.
4. T. Turumaru, On the direct-product of operator algebras, III. „Tohoku Math. J.” 6 (1954), s. 208–211.
5. T. Turumaru, On the direct product of operator algebras, IV. „Tohoku Math. J.” 8 (1956), s. 281–285.

Bibliografia

• M. Rørdam, Classification of nuclear simple C*-algebras, w: Classification of nuclear C*-algebras. Entropy in operator algebras, Encyclopaedia Math. Sci. 126, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002.