Największy sukces w karierze Harry Snell osiągnął w 1948 roku, kiedy zdobył złoty medal w wyścigu ze startu wspólnego amatorów podczas mistrzostw świata w Valkenburgu. W zawodach tych wyprzedził bezpośrednio BelgaLiévina Lerno oraz swego rodaka Olle Wänlunda. Był to jednak jedyny medal wywalczony przez Snella na międzynarodowej imprezie tej rangi. Ponadto wygrał szwedzki Mälaren Runt w latach 1944, 1945 i 1948 oraz trzynastokrotnie zdobywał mistrzostwo Szwecji. Trzykrotnie zdobywał też złote medale na mistrzostwach krajów nordyckich. W 1948 roku wziął udział w igrzyskach olimpijskich w Londynie, gdzie był osiemnasty w wyścigu ze startu wspólnego, a w wyścigu drużynowym Szwedzi zajęli piąte miejsce. Nigdy nie podpisał zawodowego kontraktu.
Najważniejsze zwycięstwa i sukcesy
1942
mistrzostwo kraju w drużynowym wyścigu (elite)
1943
mistrzostwo kraju w wyścigu ze startu wspólnego (elite)
1944
mistrzostwo kraju w wyścigu ze startu wspólnego (elite)
mistrzostwo kraju w drużynowym wyścigu (elite)
1945
mistrzostwo kraju w jeździe ind. na czas (elite)
1946
mistrzostwo kraju w wyścigu ze startu wspólnego (elite)
1947
mistrzostwo kraju w wyścigu ze startu wspólnego (elite – 250 km)
mistrzostwo kraju w drużynowym wyścigu (elite)
1948
mistrzostwo świata amatorów w wyścigu ze startu wspólnego
mistrzostwo kraju w wyścigu ze startu wspólnego (elite)
mistrzostwo kraju w wyścigu ze startu wspólnego (elite – 250 km)
mistrzostwo kraju w drużynowym wyścigu (elite)
mistrzostwo kraju w drużynowym wyścigu (elite – 250 km)
1950
mistrzostwo kraju w wyścigu ze startu wspólnego (elite)