Swoją karierę w sportach motorowych Tlusťák rozpoczął w 1995 roku i początkowo jeździł w zawodach kartingowych. W 2000 roku zaliczył swój debiut w rajdach. Wystartował wówczas Hondą Civic VTi w rajdowych mistrzostwach Czech, a także w czeskich rallysprintach. Do 2004 roku startował Hondą, a następnie zaczął jeździć Citroënem Saxo Kit Car. W 2006 roku rozpoczął starty w mistrzostwach Europy. Zdobył wówczas swoje pierwsze 5 punktów w nich, za 8. miejsce w Rajdzie Bułgarii i 5. miejsce w Rajdzie Antibes. Od tego czasu regularnie startował w mistrzostwach Europy.