Adrien karierę rozpoczął w 2001 roku od startów w kartingu. W 2007 roku zadebiutował w serii wyścigów samochodów jednomiejscowych – Niemieckiej Formule BMW. Reprezentując ekipę Josefa Kauffmanna, siedmiokrotnie stanął na podium, a podczas kończącej sezon rundzie na torze Hockenheimring zwyciężył w dwóch wyścigach. W klasyfikacji generalnej uplasował się na 4. miejscu. Francuz zaliczył również gościnny występ w amerykańskim cyklu. Dzięki zdobytym punktom zmagania w nim zakończył na 17. pozycji.
W kolejnym sezonie Tambay startował w barwach ekipy Eifelland Racing w europejskiej edycji tej serii, która powstała po złączeniu niemieckiego oraz brytyjskiego cyklu. Tambay zdominował inauguracyjną rundę na Circuit de Catalunya. W dalszej części sezonu Francuz nie prezentował jednak podobnej formy i nie zwyciężył w żadnym z pozostałych wyścigów. W pierwszej trójce znalazł się jeszcze siedem razy, a w końcowej klasyfikacji znalazł się na 3. lokacie.
Formuła 3
W 2009 roku Tambay nawiązał współpracę z drugorzędnym zespołem ART Grand Prix w Formule 3 Euroseries. Pomimo uczestnictwa we wszystkich wyścigach, Francuz nie zdobył jednak ani jednego punktu. Najbliżej sukcesu był na niemieckich torach w Lausitz oraz Norisring, w których uplasował się na siódmej lokacie.
AutoGP
W sezonie 2010 Tambay podpisał kontrakt z czeską ekipą Charouz-Gravity Raicing, na udział w serii AutoGP. W ciągu dwunastu wyścigów Tambay sześciokrotnie sięgnął po punkty. Na włoskich torach – Imola oraz Monza – dwukrotnie stanął na podium, zajmując odpowiednio pierwsze oraz drugie miejsce. Ostatecznie został sklasyfikowany na 6. pozycji.
W kolejnym roku startów nawiązał współpracę z zespołem DAMS. Z francuską ekipą wystartował w sześciu wyścigach, w ciągu których dwukrotnie (na Monzie oraz Hungaroringu) stanął na średnim stopniu podium. Po absencji na brytyjskim torze Donington Park, Tambay rozpoczął pracę hiszpańskim teamem Campos Racing, na starty w trzech ostatnich rundach sezonu. Już w pierwszej eliminacji (na Oschersleben) dwukrotnie znalazł się w pierwszej trójce, natomiast w przedostatnim wyścigu sezonu (na Mugello) odniósł drugie zwycięstwo w karierze (dzień wcześniej sięgnął po pole position). Dorobek przekraczający sto punktów pozwolił mu zająć 4. miejsce w klasyfikacji generalnej.
Seria GP3
W 2010 roku Francuz wziął udział w dwóch rundach (na Hungaroringu oraz Spa-Francorchamps) nowo utworzonej Serii GP3. Zastąpiwszy w zespole Manor Racing Brytyjczyka Jamesa Jakesa Tambay odniósł zwycięstwo w chaotycznym sprincie w Belgii. Dzięki sześciu punktom zmagania zakończył na 20. lokacie.
Tambay zadebiutował w serii DTM w sezonie 2012 w samochodzie Audi A5 DTM w teamie Audi Sport Team Abt wraz z Rahelem Freyem. Najlepszy wynik zanotował na torze w Walencji, gdzie zajął drugie miejsce. Cały sezon zakończył na 10 miejscu, ze stratą 121 punktów do Bruno Spenglera. Rok później z dorobkiem trzydziestu punktów uplasował się na czternastej pozycji w końcowej klasyfikacji generalnej. W 2014 uzbierał łącznie 36 punktów, co mu dało czternaste miejsce w klasyfikacji generalnej.