Schøne begynte sin fotballkarriere som ungdomsspiller hos Lyngby, men dro i 2002 til Nederland for å spille ungdomsfotball for SC Heerenveen. Her tilbragte han fire år uten å få spille noen seriekamper i Eredivisie for førstelaget.
De Graafschap
I 2006 dro han derfor videre til De Graafschap i Eerste Divisie. I hans første sesong for klubben hjalp han De Graafschap med å vinne opprykk til Eredivisie, og på sine to sesonger for klubben scoret han totalt 12 mål på 70 kamper.
NEC Nijmegen
Sommeren 2008 signerte han under på en kontrakt med NEC Nijmegen. Han scoret blant annet det avgjørende målet i gruppespillkampen mot Spartak Moskva under UEFA-cupen 2008/09 i desember 2008, som bidro til at NEC kvalifiserte seg til første utslagsrunde. Totalt fikk han over 120 seriekamper og over 20 seriemål for NEC frem til 2012.
Ajax
I april 2012 ble det klart at Schøne hadde signert under på en treårskontrakt med den nederlandske storklubben Ajax på en fri overgang.[7] Han ble dermed den 21 danske som har akslet den hvite og røde Ajax-drakten gjennom tidene.[8]
Landslagskarriere
Schøne fikk sin landslagsdebut for det danske herrelandslaget i en vennskapskamp mot Chile den 12. august 2009 (1–2), hvor han kom inn som innbytter og scoret Danmarks eneste mål under ett minutt etter at han kom inn på banen. Han ble siden tatt ut i den danske troppen til EM i fotball 2012 i Polen og Ukraina av landslagstrener Morten Olsen.[9]
