Norman var prestesønn, tok artium i 1840 og ble ex.med. i 1847. Etter kort tid som militærlege i første slesvigske krig, arbeidet han 1849–1857 utelukkende med botanikk. Dels på undersøkelsesreiser i Gudbrandsdalen, på Vestlandet og i Vest-Finnmark; dels under videreutdanning i Paris og Wien og dels som stipendiat ved Universitetet i Oslo. Han avsluttet også dette kapitlet av livet, og utdannet seg 1858–1860 til forstmester, i Aschaffenburg i Bayern. Ved hjemkomsten ble han utnevnt til forstmester i Troms og Finnmark, en stilling han hadde 1860–1876.
Fra 1876 fikk han statsstipend for «uafhængig af ethvert andet arbeide at kunne bearbeide Norges arktiske Flora». I 1877 flyttet han fra Tromsø til Kirkegata 1 (I dagligtale kalt «Normangården») på Langestrand i Larvik, hvor han ble boende til 1902. Fra Larvik reiste han årvisst på botaniseringsferder på opptil tre måneder.
Hans felt var nordnorsk plantegeografi, en virksomhet som han innledet med avhandlingen Index supplementarius locorum natalium specialium plantarum nonnullarum vascularium in provincia arctica Norvegiae sponte nascentium, qvas observavit J.M. Norman i 1864. Hovedverket Norges arktiske flora utkom i flere bind 1894–1901, med i alt 2 134 boksider. Verket omfatter bare den spesielle del; en generell del, med sammenfattende opplysninger, ble ikke ferdig, på grunn av sykdom.
Av Jens Holmboe blir Norman karakterisert som en «storlinjet og rank personlighet, en mann av betydelig intelligens», men også som «en steil natur» og «ingen kompromissenes mann».[2] Hans hovedverk omtales som et «overveldende rikt floristisk iakttagelsesmateriale […] vrimler av skarpe og omhyggelige plantegeografiske og økologiske iakttagelser».
Litteratur, et utvalg
Index supplementarius locorum natalium specialium plantarum nonnullarum vascularium in provincia arctica Norvegiae sponte nascentium, qvas observavit J.M. Norman. Trondheim, 1864 (pdf)
Plantegeografiske notiser fra det arktiske Norge. Stockholm, 1870
Voxesteder for nogle af den norske Floras Karplanter søndenfor Polarkredsen. Kristiania, 1881
Yderligere bidrag til kundskaben om karplanternes udbredning i det nordenfjeldske Norge søndenfor polarkredsen. Kristiania, 1883
Norges arktiske flora. Kristiania, 1894-1901
«Af botanikeren Normans efterladte papirer» I: For kirke og kultur, 1903
