Burgon lærte seg selv å spille trompet for å prøve å komme inn i et jazzband da han gikk på grunnskolen Pewley Grammar School i Guildford. Han begynte på Guildhall School of Music and Drama og tok sikte på å bli en trompetist. Han fant imidlertid ut at han var mer interessert i komposisjon, men levde av å være trompetist fram til han var 30 år, før han ble komponist på heltid.
Da han oppnådde stor suksess med sin komposisjon Requiem ved Three Choirs Festival i 1976, ble hans renomme som komponist stadfestet og han fikk en rekke oppdrag. Han videreførte tradisjonen fra Benjamin Britten og innledet et langt samarbeid med kontratenoren James Bowman.
Burgon hadde stor suksess med komposisjoner for film og TV, og mottok to ganger både BAFTA-priser og Ivor Novello Award (for musikken til BBC-serien Tinker, Tailor, Soldier, Spy og for musikken til Granada-serien Gjensyn med Brideshead.
Han giftet seg i 1963 med Janice Elizabeth Garwood og hadde en sønn og en datter med henne. Ekteskapet ble senere oppløst, og han giftet seg i 1992 med den kanadiske pianisten og sangerinnen Jacqueline Krofchak (kunstnernavn Kroft), og disse hadde en sønn sammen.
