Pecahan berkurang

Pecahan berkurang (atau pecahan dalam sebutan paling rendah, bentuk termudah atau pecahan yang dikurangkan) ialah pecahan di mana pengangka dan penyebutnya ialah bilangan bulat yang tidak mempunyai pembahagi biasa yang lain daripada 1 (dan -1, apabila nombor negatif dipertimbangkan). Dengan kata lain, pecahan ^a⁄_b tidak dapat dikurangkan jika dan hanya jika a dan b adalah koprima, iaitu jika a dan b mempunyai pembahagi umum yang paling besar dari 1. Dalam matematik lebih tinggi, "pecahan tidak dapat dikurangkan" juga boleh merujuk kepada pecahan rasional sehingga pengangka dan penyebutnya ialah polinomial koprima.^[1] Setiap nombor rasional positif dapat dinyatakan sebagai pecahan yang tidak dapat dikurangkan dalam satu cara.^[2]

Definisi setara kadangkala berguna: jika ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ ialah bilangan bulat, maka pecahan ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ tidak dapat diredakan sekiranya dan hanya jika tidak ada pecahan ${\displaystyle {\frac {c}{d}}}$ yang sama sehingga ${\displaystyle |c|<|a|}$ atau ${\displaystyle |d|<|b|}$, dimana ${\displaystyle |a|}$ bermaksud nilai mutlak ${\displaystyle a}$.^[3] (Dua pecahan ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ dan ${\displaystyle {\frac {c}{d}}}$ ialah sama atau setara jika dan hanya jika ${\displaystyle ad=bc}$.)

Contohnya, ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$, ${\displaystyle {\frac {5}{6}}}$, dan ${\displaystyle -{\frac {101}{100}}}$ semua pecahan yang tidak dapat direduksi. Selain itu, ${\displaystyle {\frac {2}{4}}}$ dikurangkan kerana nilainya sama ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$, dan pembilang ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ lebih kecil dari pembilang ${\displaystyle {\frac {2}{4}}}$.

Pecahan yang dikurangkan dapat dikurangkan dengan membahagi pengangka dan penyebut dengan faktor sepunya. Ia boleh dikurangkan sepenuhnya menjadi istilah terkecil jika kedua-duanya dibahagi oleh pembahagi umum yang paling hebat.^[4] Untuk mencari pembahagi umum yang paling hebat, algoritma Euclid atau faktorisasi utama dapat digunakan. Algoritma Euclid umumnya disukai kerana membolehkan salah satu daripadanya mengurangkan pecahan dengan pengangka dan penyebut yang terlalu besar dapat difaktorkan dengan mudah.

Rujukan

1. E.g., see Laudal, Olav Arnfinn; Piene, Ragni (2004), The Legacy of Niels Henrik Abel: The Abel Bicentennial, Oslo, June 3-8, 2002, Springer, m/s. 155
2. Scott, William (1844), Elements of Arithmetic and Algebra: For the Use of the Royal Military College, College text books, Sandhurst. Royal Military College, 1, Longman, Brown, Green, and Longmans, m/s. 75.
3. Scott (1844), m/s. 74.
4. Sally, Judith D.; Sally, Paul J., Jr. (2012), "9.1. Reducing a fraction to lowest terms", Integers, Fractions, and Arithmetic: A Guide for Teachers, MSRI mathematical circles library, 10, American Mathematical Society, m/s. 131–134, ISBN 9780821887981.

Pautan luar

• Eric W. Weisstein, Reduced Fraction di MathWorld.