Нормалност (математика)

Во геометријата, две прави во рамнина се (меѓусебно) нормални ако се сечат под прав агол, т.е. под агол со 90°.[1] Оваа дефиниција има два дела: (а) нормални прави се сечат и (б) четирите агли кои се формираат со пресекот се по 90°.

  • Две отсечки во рамнина се нормални ако правите на кои лежат отсечките се нормални. На истиот начин се дефинира нормалност на сите комбинации на права, полуправа и отсечка.[2]
  • При цртање, за да се означи дека две прави се нормални се црта симбол за прав агол кај пресекот на двете прави. Во РМ се користи мал лак со точка, а друго означување е со мало квадратче.[3].
Нормални прави. Нормални прави
формираат 4 прави агли.
Нормални отсечки. Означување на прав агол (нормалност).

Означување

Симбол за нормалност е   . На пример, значи дека правите AB и CD се нормални. Симболот се совпаѓа со Буловиот симбол за невистинит, но контекстот е сосема различен така што не се мешаат.

  • Нормалност како паралелност е симетрична особина, односно    е еквивалентно со   , па затоа едноставно велиме дека AB и CD се нормални.
  • За разлика од паралелност, нормалност не е транзитивна особина. На против, ако    и    тогаш    .

Во уникод, симболот за нормалност на вашиот тековен прелистувач се прикажува со и е уникод бројот 8869. Соодветните хексадецимален број се 22а5. На мрежно место, т.е. во ХТМЛ се внесува ⊥ или &#x22а5;.[4] За внесување на уникод симболи во текст уредувачи на Microsoft се внесува хексадецималниот код, па веднаш потоа се притиска Alt+x.[5] Во уникод има и симболи ⊾ () и ∟ ().

Во LaTeX, симболот     за нормалност се добиваат со командата \perp која е дел од пакетот wasysym.

Во Геогебра, симбол при цртање на прав агол се менува во Опции -> Напредно -> Ознака за прав агол, па се избере точка.

Нормални прави и наклон

Во алгебра, права во рамнина има наклон, односно број кој го опишува правецот и стрмноста на правата. Ако е дадена правата во експлицитен облик y=ax+b, тогаш коефициентот a на x е наклонот на правата.

Основна поставка: Две прави се нормални ако и само ако производот на нивните наклони е -1.[6]

Пример: Правите y= -3x+2 и y =x/3+2 се нормални бидејќи наклонот на првата права е a1= -3, а наклонот на втората права е a2=1/3 така што a1·a2= -3·1/3 = -1.

Пример: Правите 2x-y+3=0 и x-2y-1=0 не се нормални бидејќи производот на нивните наклони е 2·1/2=1 (а не -1).

  • Две прави се нормални само ако едната има позитивен наклон, а другата има негативен наклон.
  • Ако правата m е нормална на правата n, a правата n е нормална на правата p, тогаш правите m и p или се паралелни или се совпаѓаат (т.е. наклоните им се исти).
Доказ: Нека наклон на m e a. Од нормалноста на m и n, наклонот на n е -1/a. Од нормалноста на n и p, наклонот на p е
.

Нормала на права низ точка во рамнина

Конструкција на нормала на права низ точка која не лежи на правата со Геогебра. Види и навода![7]

Конструкција со шестар и линијар

Една од основните конструкции со шестар и линијар е конструкција на права нормална со дадена права m која минува низ дадена точка C која лежи/не лежи на m.[8]

  1. Со линијар нацртај права и точка која не лежи на правата (види наводи за точка на права).
  2. Означи ја точката со буквата С.
  3. Доколку нема, означи две посебни точки А и В на правата (релативно блиски една до друга и до точката С).
  4. Со шестар нацртај една кружница со полупречник АС и центар А.
  5. Со шестар нацртај друга кружница со полупречник ВС и центар В.
  6. Означи ја другата пресечна точка D на двете кружници (едната пресечна точка е С).
  7. Нацртај ја правата CD која минува низ двете пресечни точки.

Правата CD врви низ С и е нормална на правата АВ.

Алгебарска равенка

Нека е дадена точка C со координати С=(p,q) и права

Равенката на права која минува низ С(p,q) и е нормална на дадената права е

Доказ: Наклонот на дадената права е a. Според основната поставка, наклонот на (која било) нормала е −1/a. Значи бараната нормала го има тој наклон, а минува низ точката (p,q). (Види и Формули за равенка на права.)

Пример: Равенката на нормалата на правата y=3x+2 која минува низ точката (-1,-1) е: y=-x/3-4/3.

Нормала и растојание

Нормали се користат за пресметување на растојание помеѓу геометриски објекти.

Растојание помеѓу точка и права во рамнина

За да се пресмета растојание помеѓу точка C=(p,q) и права m, најпрво треба да се најде равенката на правата n која е нормална на правата m, а минува низ точката C. Потоа треба да се најдат координатите на прeсечната точка D на правите n и m. Тогаш растојанието помеѓу С и m е растојанието помеѓу точките С и D.

Пример: Нека точката C=(-4,2), a правата m нека е дадена експлицитно y=x/2-1. Тогаш наклонот на правата m e ½, така што наклонот на нормалата n е

со што равенката на n e

Пресекот на правите m и n е решение на систем линеарни равенки

Решението е D(-2,-2). Растојанието помеѓу точките С и D е

Следува дека растојанието помеѓу точката С и правата m е ≈4,47

Растојание помеѓу две паралелни прави во рамнина

Види паралелни прави

Растојание во 3Д простор

Види аналитичка геометрија

Нормали на крива

Во математичката дисциплина калкулус (диференцијално сметање) е дефиниран поимот извод. Да претпоставиме дека y=f(x) е реална функција од една реална променлива и е диференцијабилна во точката xo и дека вредноста на функцијата во таа точка е yo=f(xo), а вредноста на изводот во таа точка е y'o=y'(xo).

Тогаш равенката на тангентата на функцијата во таа точка е

а равенката на нормалата на функцијата во таа точка е[9]

Нормалност и вектори

Основна поставка: Во аналитичка геометрија, два полупречнички вектори се нормални ако и само ако нивниот скаларен производ е 0. (Види и аналитичка геометрија.)

Нормалност во 3Д простор

  • Во 3-димензионален простор, права и рамнина се нормални ако правата и рамнината се сечат во една точка А и правата е нормална со секоја права од рамнината која минува низ А.

Права зададена во параметарски (векторски, вектор-параметарски) облик е

 ,  

Рамнина зададена во општ облик е

Поставка: Правата и рамнината се нормални ако полупречничките вектори <a,b,c> и <A,B,C> се колинеарни (линеарно зависни), односно ако

Формула: Равенка на рамнина која е нормална со полупречник-векторот <a,b,c>, а врви низ точката C(xo,yo,zo) e

Нека се дадени две рамнини во општ облик, односно

Поставка: Рамнините се нормални ако полупречничките вектори <A,B,C> и <A1,B1,C1> се нормални, односно ако нивниот скаларен производ е 0.

Обопштување

Нормалност како поим во елементарна геометрија се обопштува во поимот ортогоналност во класична математика.

Наводи

  1. Math Open Reference (2009). „Perpendicular lines“ (англиски). Посетено на 1 септември 2013.[мртва врска] интерактивен }
  2. C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Perpendicular“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 599. Посетено на 1 мај 2014.
  3. Pierce, R. (2012). „Symbols in Geometry“ (англиски). Math is Fun. Посетено на 1 септември 2013.
  4. „Unicode Entity Codes for Math“ (англиски). 2013. Архивирано од изворникот на 2013-11-27. Посетено на 1 септември 2013.
  5. „Unicode Input“ (англиски). Wikipedia. Посетено на 1 септември 2013.
  6. Math Open Reference. „Perpendicular lines (Coordinate geometry)“ (англиски). Посетено на 1 септември 2013.[мртва врска] интерактивен
  7. Институт за Геогебра на МКД. „Конструкција на нормала низ точка која лежи на права“. Архивирано од изворникот на 2012-04-13. Посетено на 1 септември 2013.
  8. Math Open Reference (2009). „Constructing a perpendicular line through a given point with compass and straightedge“ (англиски). Посетено на 1 септември 2013. интерактивно
  9. Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 555. Посетено на 1 септември 2013.

Поврзано

Надворешни врски

Read other articles:

Character from the British soap opera Coronation Street Soap opera character Becky McDonaldCoronation Street characterPortrayed byKatherine KellyDuration2006–2012First appearanceEpisode 62215 February 2006 (2006-02-05)Last appearanceEpisode 778623 January 2012 (2012-01-23)ClassificationFormer; regularIntroduced byTony WoodSpin-offappearancesOut of Africa (2008)Romanian Holiday (2009)In-universe informationOccupation Cleaner Seamstress Waitre...

 

  لمعانٍ أخرى، طالع موريس (توضيح). موريس   الإحداثيات 33°44′51″N 86°48′25″W / 33.747374°N 86.807023°W / 33.747374; -86.807023  تقسيم إداري  البلد الولايات المتحدة[1]  التقسيم الأعلى مقاطعة جيفرسون  خصائص جغرافية  المساحة 7.87216 كيلومتر مربع7.869979 كيلومتر مربع (1 أبريل...

 

Pour les articles homonymes, voir École polytechnique. École polytechnique fédérale de ZurichLogoHistoireFondation 1855StatutType PubliqueNom officiel Eidgenössische Technische Hochschule ZürichRégime linguistique Allemand, anglaisFondateur Confédération suissePrésident Joël MesotRecteur Sarah SpringmanMembre de ORCID (d), Alliance internationale des universités de recherche, Association des universités européennesSite web www.ethz.chChiffres-clésÉtudiants 18 500Localisat...

Cody Hall Hall em março de 2015 Informações pessoais Nome completo Cody Hall Nascimento 31 de maio de 1991 (32 anos)[1]Florida[1] Residência Atlanta, Geórgia Carreira na luta livre profissional Nome(s)de ringue Cody Hall Alturaanunciada 6 ft 8 in (2,03 m)[1] Pesoanunciado 268 lb (120 kg)[1] Treinadopor Scott Hall[2]Chasyn RanceLarry Zbyszko Estreia 14 de julho de 2012[1] Cody Taylor Hall (nascido em 31 de maio de 1991)[1] é um lutador profissional...

 

مينامياواجي    علم   الإحداثيات 34°17′40″N 134°46′47″E / 34.294444444444°N 134.77983333333°E / 34.294444444444; 134.77983333333  [1] تاريخ التأسيس 11 يناير 2005  تقسيم إداري  البلد اليابان[2][3]  التقسيم الأعلى هيوغو  خصائص جغرافية  المساحة 229.01 كيلومتر مربع (1 أكتوبر 2018...

 

1833 Maine gubernatorial election ← 1832 September 9, 1833 1834 →   Nominee Robert P. Dunlap Daniel Goodenow Samuel E. Smith Party Democratic National Republican Independent Democrat Popular vote 25,731 18,112 3,024 Percentage 52.14% 36.70% 6.13% Governor before election Samuel E. Smith Democratic Elected Governor Robert P. Dunlap Democratic The 1833 Maine gubernatorial election took place on September 9, 1833. Incumbent Democratic Governor Samuel E. Smith was ...

  Cereus fernambucensis Estado de conservaciónPreocupación menor (UICN)[1]​TaxonomíaReino: PlantaeSubreino: TracheobiontaDivisión: MagnoliophytaClase: MagnoliopsidaSubclase: CaryophyllidaeOrden: CaryophyllalesFamilia: CactaceaeSubfamilia: CactoideaeTribu: CereeaeGénero: CereusEspecie: C. fernambucensisLem.[editar datos en Wikidata] Cereus fernambucensis es una especie de plantas en la familia de las Cactaceae. Vista de la planta Hábitat Es endémica de Brasil en el ...

 

この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。(このテンプレートの使い方)出典検索?: ピエタ ミケランジェロ – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL(2009年10月) 『サン・ピエトロのピエタ』は

 

This article is about the council area and district. For the province, see Province of Moray. For the county, see County of Moray. For the fish, see Moray eel. For other uses, see Moray (disambiguation). Council area of Scotland Place in ScotlandMorayScottish Gaelic: Moireibh Coat of armsCouncil logoCoordinates: 57°25′N 3°15′W / 57.417°N 3.250°W / 57.417; -3.250Sovereign stateUnited KingdomCountryScotlandLieutenancy areasMoray, Banffshire (Part)Admin HQHigh Str...

Voce principale: Allsvenskan. La pagina elenca le squadre vincitrici del massimo livello del campionato svedese di calcio, istituito per la prima volta nel 1896. Indice 1 Albo d'oro 1.1 Svenska Mästerskapet (1896-1924) 1.2 Allsvenskan (1924-1930) 1.3 Allsvenskan (1930-1981) 1.4 SM-slutspel (1982-1990) 1.5 Mästerskapsserien (1991-1992) 1.6 Allsvenskan (dal 1993) 2 Statistiche 2.1 Titoli per squadra 2.2 Titoli per città 2.3 Titoli consecutivi 3 Capocannonieri 4 Note 5 Bibliografia Albo d'oro...

 

Geographical features of Portugal Geography of PortugalContinentEuropeRegionIberian Peninsula, Southern EuropeCoordinates39°22′13.65″N 8°8′25.13″W / 39.3704583°N 8.1403139°W / 39.3704583; -8.1403139AreaRanked 109th • Total92,391 km2 (35,672 sq mi) • Land99.55% • Water.45%Coastline1,794 km (1,115 mi)BordersTotal land borders: Portugal-Spain border (1214 km)Highest pointMount Pico2351 mLowest p...

 

العلاقات الإماراتية الصومالية   الصومال   الإمارات العربية المتحدة تعديل مصدري - تعديل   العلاقات الإماراتية الصومالية هي العلاقات الثنائية بين الإمارات العربية المتحدة والصومال. كلا البلدان عضوان في جامعة الدول العربية. يوجد للصومال سفارة في أبوظبي، وللإما...

Prose work by John Donne published in 1624 No man is an island redirects here. For other uses, see No Man Is an Island. Devotions upon Emergent Occasionsby John DonneCountryKingdom of EnglandLanguageEnglishPublication date1624 (1624) Reading of Meditation XVII written by John Donne Devotions Upon Emergent Occasions, and severall steps in my Sicknes is a prose work by the English metaphysical poet and cleric in the Church of England John Donne, published in 1624. It covers death, rebirth ...

 

بنما سيتي بيتش    علم   الإحداثيات 30°10′36″N 85°48′20″W / 30.176666666667°N 85.805555555556°W / 30.176666666667; -85.805555555556  تاريخ التأسيس 1977  تقسيم إداري  البلد الولايات المتحدة[1][2]  التقسيم الأعلى مقاطعة باي  خصائص جغرافية  المساحة 48200000 متر مربع48.207335 كيلومت...

 

2008 studio album by Roch VoisineAmericanaStudio album by Roch VoisineReleased2008Recorded2008GenreRockpopcountryLabelRCA Victor EuropeRoch Voisine chronology Best Of(2007) Americana(2008) AmerIIcana(2009) Americana is a 2008 album by Canadian singer Roch Voisine. Many of the tracks were recorded in Nashville, Tennessee. He followed that in 2009 with the album AmerIIcana. Track listing Bonus bilingual English / French version tracks marked with [*] City of New Orleans Ring of Fire Let...

44°53′15″N 97°03′36″W / 44.8876°N 97.060°W / 44.8876; -97.060 The Redlin Art Center main building The Redlin Art Center is an art gallery located in Watertown, South Dakota where over 150 of artist Terry Redlin's original paintings are displayed. The center was opened on June 6, 1997, and has welcomed over two million visitors. This 52,000-square-foot (4,800 m2) brick building was designed by Terry Redlin's son, Charles Redlin. External links Wikimedia...

 

British TV series or programme OceansTitle sequence to OceansGenreDocumentaryStarringPaul RoseTooni MahtoLucy BluePhilippe CousteauNarrated byMark HallileyComposerTy UnwinCountry of originUnited KingdomOriginal languageEnglishNo. of series1No. of episodes8ProductionProduction locationsIndian Ocean, Sea of Cortez, Atlantic Ocean, Red Sea, Southern Ocean, Mediterranean Sea, Arctic OceanRunning time60 minsProduction companyBBCOriginal releaseNetworkBBC TwoRelease12 November (2008-11-12...

 

Drexel 4175New York Public Library for the Performing ArtsDrexel 4175Also known asAnn Twice, Her BookSongs unto the violl and luteTypeCommonplace bookDatebetween 1620 and 1630Place of originEnglandLanguage(s)EnglishSize25 leaves Drexel 4175, also known by an inscription on its cover, Ann Twice, Her Book or by the inscription on its first leaf, Songs unto the violl and lute, is a music manuscript commonplace book. It is a noted source of songs from English Renaissance theatre,[1] consi...

Double-faced Mithraic relief. Rome, second to third century AD. Louvre Museum Mithras la Galerie du Temps du Louvre-Lens Misteri Mithraik adalah agama misteri yang dipraktikkan di Kekaisaran Romawi dari sekitar abad ke-1 sampai 4 SM. Nama dewa Persia Mithra (proto-Indo-Iran Mitra), diadaptasi ke dalam bahasa Yunani sebagai Mithras, dikaitkan dengan citra yang baru dan khas. Para penulis pada periode Kekaisaran Romawi merujuk pada agama misteri ini dengan frase yang dapat di artikan kedalam ba...

 

Gubernur-Jenderal FilipinaKediamanBenteng San Pedro (1565–1572) Palacio del Gobernador (1572–1863)Istana Malacañang (1863–1945) Mansion House (1942–1945)Ditunjuk olehKewalirajaan Spanyol Baru Penguasa monarki Spanyol Penguasa monarki Britania Raya Presiden Amerika Serikat Kaisar JepangPendahuluBeragam, sistem barangayDibentuk27 April 1565Pejabat pertamaMiguel López de Legazpi(di bawah Spanyol)Dawsonne Drake(di bawah Britania Raya)Wesley Merritt(di bawah Amerika Serikat)Masaharu Homm...

 

Strategi Solo vs Squad di Free Fire: Cara Menang Mudah!