Права (геометрија)

Означување на права

Бројна оска - права во 1Д

Во геометрија, права или права линија се опишува како бесширинска, бескрајно долга, совршено права линија, на која лежат бесконечно многу точки.^[1]

• Геометриско права е еднодимензионален објект, т.е. има 0 ширина и 0 висина. Права цртана со молив има мала ширина и висина, па затоа велиме дека таа претставува геометриско права.
• Геометриско права нема краеви, т.е. таа продолжува на двата насокии бескрајно. Ова својство може да се означува цртeјќи стрелки на двете краеви од правата (но не мора). Поради ова својство, права има бескрајна должина.
• Во Евклидовата геометрија, права потполно се определува со две посебни точки А и B на неа, т.е. по цртање или дефинирање на две точки, постои една единствена права која врви низ нив.
• Три или повеќе точки кои лежат на една (иста) права се нарекуваат колинеарни.
• Најчесто цртаме права во 2-димензионален простор односно рамнина, на пример, на лист хартија која по своја природа е 2-димензионален простор (рамнина). Меѓутоа, прави постојат и во 3-димензионално простор и нивно реално претставување ни е јасно. За да претставиме права од 3-димензионален простор на 2-димензионална површина, на пример за "цртаме" коцка на хартија користиме т.н. проекција. Можеби најпознатата ваква проекција е изометрична проекција која е користена на оваа страница секаде каде што се црта 3-димензионален простор.
• Потаму, права може математички, т.е. само со броеви и математички симболи, да се дефинира како објект, не само во 2-димензионален и 3-димензионален простор, туку и во 4-ти и повисоко димензионални простори каде што не можеме да цртаме (види подолу).
• Единствената права во 1-димензионален простор е бројната оска.
• Права нацртана во 2-димензионален простор (рамнина) може да биде вертикална, хоризонтална или коса, а права во рамнина која не е вертикална се вика линеарна функција. Во 2-димензионален простор, две прави можат да бидат паралелни, што значи дека не можат да се сретнат, да се совпаѓаат во сите точки, или пак да се сечат во една и само една точка. Види систем линеарни равенки.

Означување на права

Означување на права, полуправа и отсечка

• Права која врви низ точките А и В се означува со:  ${\displaystyle {\overset {\longleftrightarrow }{AB}}}$  или само со АВ. Права нацртана без посебно да се означаат две точки, на пример права цртана со линијар обично се означува со мала буква како у или p. Меѓутоа, да забележиме дека ваква линиарска права не може да се нацрта со математички софтвер (на пример Геогебра). Со нив најпрво мора да се определат две точки, па потоа правата која врви низ нив. Доколку сакаме правата да изгледа линиарска, треба да се кријат точките, со што изгледа дека нема определувачки точки. Меѓутоа, доколку се брише било која од определувачките точки, автоматско и правата ќе се брише.
• Дел од права помеѓу две посебни (дистинктни) точки А и В на една права се вика отсечка и се означува со ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ . Отсечка има одредена должина која е и најкраткото растојанието помеѓу точките А и В. За објаснување околу вклучување (или не) на крајните точки А и В во самата отсечка (види и отсечка).
• Дел од права која започнува во една точка А, врви низ друга (дистинктна) точка В, па потоа продолжува во таа насока безкрајно се вика полуправа и обично се означува со ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$  (види и полуправа).

Голем круг како најкраток пат од Њујорк до Лисабон ^[2][3][4]

Прави во други простори

Идејата на права како геометриски објект со која дадени две точки се поврзуваат по најкраткиот пат се проширува и во други простори освен стандардните правоаголни простори како што е рамнина. На пример, простор може да биде сфера како површината на земјата (без внатрешноста). Прави линиии во овој простор се т.н. големи кругови т.е. кругови чиј центар е центарот на земјата (сферата). Вакви геометрии имаат многу интересни спроти-иннтуитивни последици. На пример, правата помеѓу два градови, односно најкраткиот пат е по големиот круг кој врви низ двата градови, а не e „директниот“ пат како што се гледа на 2Д карта. Види Голем круг^[5]

Три прави во рамнина(црвената и кафеавата го имаат истиот наклон; црвената и зелената ја имаат истата пресечна точка со у-оската.

Формули за равенка на права во правоаголни координати

Општиот облик на равенката за права во правоаголен координатен систем е:^[6] Ax + By + C = 0.

Во рамнина: вертикална права

Равенка на вертикална права во рамнина која врви низ точката (с,0) на х-оската е: ${\displaystyle x=c}$. Меѓутоа, равенката x=c нацртана во 3Д простор не е права, туку е рамнината која врви низ точката (с,0,0) и е паралелна со y-z рамнината. Види линеарна равенка.

Во рамнина: хоризонтална права

Равенка на хоризонтална права која врви низ точката (0,с) на у-оската е: ${\displaystyle y=c}$. Меѓутоа, равенката y=c нацртана во 3Д простор е рамнината паралелна со x-z рамнината која врви низ точката (0,с,0). Види линеарна равенка.

Во рамнина: низ две точки

Равенката на права која врви низ две точки: А(x₁,y₁) и B=(x₂,y₂) во експлицитен облик e:     ${\displaystyle y={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot (x-x_{1})+y_{1}}$ Покрај тоа, равенката на права која врви низ две точки може да се претстави и во следниов облик (т.н. облик со наклон и пресек): y = mx + b, каде m e наклонот на правата, а тој се пресметува со следнава формула:^[6]
${\displaystyle y={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$
Најпосле, равенката на права која врви низ две точки може да се претстави и со т.н. облик со наклон во точка:${\displaystyle y_{2}-y_{1}=m(x-x_{1})}$ Притоа, две одделни невертикални прави се паралелни ако и само ако нивните наклони се еднакви, т.е. ${\displaystyle m_{1}=m_{2}}$. Од друга страна, две невертикални прави се нормални една на друга ако и само ако за нивните наклони важи следново равенство: ${\displaystyle m_{1}=-{\frac {1}{m_{2}}}}$.^[6]

Во рамнина: низ точка и е паралелна со права со наклон а

Равенката на права која врви низ една точки: А(x₁,y₁) и е паралелна со правата y=ax+b односно со наклон а:     ${\displaystyle y=a\cdot (x-x_{1})+y_{1}}$

Во рамнина: низ точка и е нормална со права со наклон а

Равенката на права која врви низ една точки: А(x₁,y₁) и е нормална со правата y=ax+b односно со наклон а:     ${\displaystyle y={\frac {-1}{a}}\cdot (x-x_{1})+y_{1}}$

Забелешка: Бидејќи погорните равенки се во експлицитен облик (т.е. решени по y), по заменување на координатите на дадените точки и средување, само една равенка е можна.

3Д права во векторски облик

3Д права како пресек на две рамнини

Во 3Д простор: низ точка и е паралелна со полупречник вектор <a,b,c>

Равенката на права која врви низ точка: А(x₁,y₁,z₁) и е паралелна со (ненулти) полупречник вектор < a, b, c > задена во векторски облик e:    ${\displaystyle {\mathbf {X} (t)}=<{x_{1}},{y_{1}},{z_{1}}>+t\cdot <{a},{b},{c}>}$  ,   ${\displaystyle t\in \Re }$  

Полупречник векторот    ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}=<a,\,b,\,c>}$   се вика насочен вектор на правата. Насочен вектор не е уникатен, односно за било кој реален број k, k≠0 и   ${\displaystyle k\cdot {\overrightarrow {v}}=<k\cdot a,\,k\cdot b,\,k\cdot c>}$  исто така e насочен вектор на истата права. Од тоа следува дека ниту една равенка на права во 3-димензионален простор не е уникатна.

Во 3Д простор: низ две точки

Равенката на права која врви низ две точки: А(x₁,y₁,z₁) и B=(x₂,y₂,z₂). Се пресметуваат компонентите на насочен вектор на правата:    ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}=<a,b,c>,\,\,\,{a=(x_{2}-x_{1})},\,{b=(y_{2}-y_{1})},\,{c=(z_{2}-z_{1})}}$.

• Параметарски облик е:   ${\displaystyle \left\{{\begin{array}{*{20}{l}}{x(t)={x_{1}}+{a}t}\\{y(t)={y_{1}}+{b}t}\\{z(t)={z_{1}}+{c}t}\end{array}}\right.}$  ,  ${\displaystyle t\in \Re }$^[7][8]
• Облик на симетрични равенки е:    ${\displaystyle {\frac {x-x_{1}}{a}}={\frac {y-y_{1}}{b}}={\frac {z-z_{1}}{c}}}$

Потаму, честопати во 3Д простор се дефинира права како пресек на две рамнини, односно како систем на две линеарни равенки во три променливи (x,y,z).^[9]

Во n-димензионален правоаголен простор

Равенката на права која врви низ две точки: A(x_1,1,x_1,2,...,x_1,n) и B(x_2,1,x_2,2,...,x_2,n) во параметарски облик и во векторски облик е:
   Параметарски: ${\displaystyle \left\{{\begin{array}{*{20}{l}}{x_{1}(t)=x_{1,1}+{a_{1}}t}\\{x_{2}(t)=x_{1,2}+{a_{2}}t}\\\vdots \\{x_{n}(t)=x_{1,n}+{a_{n}}t}\end{array}}\right.}$    или Векторски: ${\displaystyle \mathbf {X} (t)=<{x_{1,1}},{x_{1,2}},...,{x_{1,n}}>+t\cdot <{a_{1}},{a_{2}},\,...,{a_{n}}>}$    каде што    ${\displaystyle {a_{j}=(x_{2,j}-x_{1,j})},\,j=1,...,n}$.

Историја на права

Идејата за права линија била воведена од древните математичари за да се претстават прави објекти со занемарлива ширина и висина. Правите претставуваат идеализација на такви објекти. Поради тоа, пред 17 век, правите се дефинирале на следниот начин: „Права е прв вид на квантитет, која има само една димензија, имено должина, без ширина или висина и не е ништо повеќе од тек на точката која […] ќе замина од свој имагинарен почеток движејќи некоја должина, без да се шири. […] Права е тоа што равномерно се шири помеѓу свои точки.“^[10][11]

Наводи

1. Math Open Reference (2009). „Lines“ (англиски). Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
2. Vaness, Chris (2010). „Пресметувач на растојание по голем круг со дадени латитуди и лонгитуди“ (англиски). Посетено на 1 септември 2013.
3. „Пресметувач на растојание по фиксирана латитуда“ (англиски). CSG, Computer Support Group, Inc. and CSGNetwork.Com. 1973–2013. Посетено на 1 септември 2013.
4. Duisenberg, Ken. „Формули за пресметување растојание по фиксирана латитуда“ (англиски). Посетено на 1 септември 2013.
5. Rodrigue, Jean-Paul Rodrigue (2010). „The Geography of Transportation“ (англиски). Dept. of Global Studies & Geography , Hofstra University, New York, USA. Архивирано од изворникот на 2013-06-27. Посетено на 1 септември 2013.
6. Roland E. Larson, Bruce H. Edwards, David E. Heyd, Finite Mathematics. D. C. Heath and Company, Lexington, Massachusetts and Toronto, 1991, стр. 44.
7. Dawkins, P. (2009). „Paul's Online Math Notes“ (англиски). стр. 138. Посетено на 1 септември 2013.
8. Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 822. Посетено на 1 септември 2013.
9. Стојановска, Л. (2011). „Равенка на права како пресек на две рамнини (YouTube)“. YouTube. Посетено на 1 септември 2013.
10. На стар француски: „La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre chose que le flux ou coulement du poinct, lequel […] laissera de son mouvement imaginaire quelque vestige en long, exempt de toute latitude. […] La ligne droicte est celle qui est également estenduë entre ses poincts." стр. 7 и 8 од делото Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs figures & demonstrations, avec la corrections des erreurs commises és autres traductions на Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV (1645).
11. „Line (geometry)“ (англиски). Wikipedia. Посетено на 1 септември 2013.

Поврзани теми

• Отсечка
• Наклон
• Полуправа
• Линеарна функција
• Линеарна равенка
• Аналитичка геометрија
• Крива

Надворешни врски

• Стојановска, Л. (2009). „Видео објаснување за линеарни функции“. Архивирано од изворникот на 2013-03-02. Посетено на 12 септември 2013.
• Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод) (2013). „Геогебра алатка: Права“. Архивирано од изворникот на 2013-09-11. Посетено на 12 септември 2013.
• Laval, Philippe. „Lines and Planes in 3D“ (PDF) (англиски). College of Science and Mathematics, Kennesaw State University, GA, USA. стр. 41–42. Архивирано од изворникот (PDF) на 2012-06-17. Посетено на 12 септември 2013.
• „Equations of Lines and Planes“ (PDF) (англиски). Acacemic Resource Center, Illinois Institute of Technology. Архивирано од изворникот (PDF) на 2013-02-10. Посетено на 12 септември 2013.