Средно движење

Средно движење (означено со n) — аголна брзина потребна на телото да направи една орбита, притоа имајќи постојана брзина во кружна орбита која ја изминува за стото време како и при променлива брзина, кај елиптичната орбита на правото тело.^[1] Оваа замисла е подеднакво добра и за мали тела во орбита околу поголени, масивни тела или пак две тела со слична големина кои се вртат околу заедничко тежиште. Иако номинално е средна, и теориски така е во случајот на движење на две тела, во практиката средното движење не е типично просечно движење со текот а времето за орбитите на двете тела, штое приближност на претпоставката за проблемот на две тела. Станува збор за моменталната вредност која ги задоволува погорните услови пресметани од моменталните гравитациски и геометриски услови на постојано променливата, растроена орбита на телото.

Средното движење се користи како приближност за моменталната орбитална брзина за почетно пресметување на местоположбата на телото во орбитата, на пример, на збир од орбитални елементи. Оваа средна местоположба е прочистена од Кеплеровата равенка за да се добие правото движење.

Дефинирање

Ако времето потребно да се направи една орбита се означи со Т, и временска димензија. Средното движење е само една револуција поделена со ова време или:

${\displaystyle n={\frac {2\pi }{T}}}$, ${\displaystyle n={\frac {360^{\circ }}{T}}}$ или ${\displaystyle n={\frac {1}{T}},}$

или пак радијани во единица време, степени во единица време или вртежи во единица време.^[2][3]

Вредноста на средното движење зависи од условите на одредениот гравитациски систем. Во системите со поголема маса, телата ќе орбитираат побрзо, во согласност со Њутновиот закон за сеопфатна гравитација. Слично, телата кои се близу едно до друго ќе орбитираат побрзо.

Средно движење и Кеплерови закони

Третиот Кеплеров закон гласи, квадратот на периодичното време е пропорционално со кубот на средното растојание,^[4] или:

${\displaystyle {\frac {a^{3}}{T^{2}}}={\frac {\mu }{4\pi ^{2}}},}$

каде a е големата полуоска или средното растојание, Т е орбиталниот период како што беше и погоре и μ е константа за секој посебен гравитациски систем.

Од погорната равенка сза средното движење, се добива

${\displaystyle T={\frac {1}{f}},}$

каде f е честотата. Претворајќи го f во радијани во единица време и изедначувајќи го со погореспоменатиот Трет Кеплеров закон,

${\displaystyle {\frac {\mu }{4\pi ^{2}}}={\frac {a^{3}}{\left({\frac {2\pi }{f}}\right)^{2}}},}$

кратејќи се добива,

${\displaystyle \mu =a^{3}f^{2},}$

што всушност е друга дефиниција за третиот Кеплеров закон.^[3][5] μ константата на пропорционалност, е гравитацискиот параметар,^{[6][note 1]} дефинирана од масите на телата кои се земени предвид и гравитациската константа, G; Погледајте подолу. Поради тоа, f исто така се дефинира на следниот начин:^[7]

${\displaystyle f^{2}={\frac {\mu }{a^{3}}}}$, или ${\displaystyle f={\sqrt {\frac {\mu }{a^{3}}}}.}$

Со замена за средното движење со μ се добива:

${\displaystyle n={\sqrt {\frac {G(M+m)}{a^{3}}}}\,\!,}$

каде M е масата на поголемото тело во системот и m е масата на помалото тело во системот.

Ова е целосната гравитациска деиниција на средното движење во проблемот на две тела. Честопати во небесната механика, првичното тело е многу поголемо од вторичните тела во системот, односно, M ≫ m. Под овие услови m станува неважно и третиот Кеплеров закон е приближно постојан за сите помали тела.

Вториот Кеплеров закон гласи, радиусвекторот од планетата до Сонцето опишува еднакви површини за еднакви временски интервали ,^[6] или

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}={\text{constant}}}$

за системот од две тела, каде dAdt е стапката на временската промена на опишаната површина.

Поврзано: Лајбницова забелешка

Ако dt = T, орбиталниот момент, површината која ќе се измине е површината на елипсата, dA = πab, каде a е големата полуоска и b е малата полуоска на елипсата.^[8] Следи:

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}={\frac {\pi ab}{T}}.}$

Множејќи ја равенката со 2 се добива,

${\displaystyle 2\left({\frac {dA}{dt}}\right)=2\left({\frac {\pi ab}{T}}\right).}$

Од погорната дефиниција се добива, средното движење n = 2πT. Заменувајќи се добива:

${\displaystyle 2{\frac {dA}{dt}}=nab,}$

а средното движење е

${\displaystyle n={\frac {2}{ab}}{\frac {dA}{dt}},}$

и претставува константа како што се и: a, b и dAdt во проблемот на две тела.

Средно движење и константи на движењето

Поради природата на проблемот на две тела во запазено гравитациско поле, две величини од движењето не се менуваат: аголниот момент и механичката енергија.

Првата константа, наречена специфичен аголен момент, може да се дефинира како^[8][9]

${\displaystyle h=2{\frac {dA}{dt}},}$

и со замена во погорната равенка за средното движење се добива:

${\displaystyle n={\frac {h}{ab}}.}$

Втората константа, наречена специфична механичка енергија, може да се дефинира како:^[10][11]

${\displaystyle \xi =-{\frac {\mu }{2a}}.}$

разместувајќи ги и множејќи ги со 1a² се добива:

${\displaystyle {\frac {-2\xi }{a^{2}}}={\frac {\mu }{a^{3}}}.}$

Од погоре, квадратот на средното движење n² = μa³. Заменувајќи и распределувајќи, може да се изрази средното движење како:

${\displaystyle n={\frac {1}{a}}{\sqrt {-2\xi }},}$

каде −2 покажува дека ξ мора да се дефинира како бнегативен број, како што е вообичаено во небесната механика и астродинамиката.

Средното движење и гравитациските константи

Во небесната механика на Сончевиот Систем се користат две гравитациски константи: G,Њутновата константа и k Гаусовата гравитациска константа. Од погорните дефиниции, средното движење е:

${\displaystyle n={\sqrt {\frac {G(M+m)}{a^{3}}}}\,\!.}$

Со нормализирање на деловите од оваа равенка и правејчи одредени претпоставки може да се поедностави, давајќи врска меѓу средното движење и константите.

Сведувајќи ја масата на Сонцето на еден, M = 1. Масите на планетите се многу помали, m ≪ M. Па така за секоја одредена планета:

${\displaystyle n\approx {\sqrt {\frac {G}{a^{3}}}},}$

и доколу исто така големата полуоска се изедначи со една астрономска единица,

${\displaystyle n_{1\;\mathrm {AU} }\approx {\sqrt {G}}.}$

Гаусовата гравитациска константа k = √G,^{[12][13][note 2]} па така, соред истите услови од погоре за која и да е планета се добива:

${\displaystyle n\approx {\frac {k}{\sqrt {a^{3}}}},}$

и повторно земајќи ја големата полуоска како една астрономска единица,

${\displaystyle n_{1\;\mathrm {AU} }\approx k.}$

Средно движење и средна аномалија

Средното движење исто така го покажува чекорот на промена на средната аномалија, и може да се пресмета на следниот начин:^[14]

${\displaystyle n={\frac {M_{1}-M_{0}}{t}}}$

каде M₁ и M₀ се средните аномалии во одредени точки од времето и t е времето кое изминало меѓу тие две точки. M₀ се однесува на средната аномалија во епоха и t е времето од епохата.

Равенки

Орбиталните параметри за Земјин сателит, како и средното движење се мерат како завртувања во еден ден. Во тој случај се запишува:

${\displaystyle n={\frac {d}{2\pi }}{\sqrt {\frac {G(M+m)}{a^{3}}}}=d{\sqrt {\frac {G(M+m)}{4\pi ^{2}a^{3}}}}\,\!}$

каде

• d е времето во еден ден,
• G е гравитациската константа,
• M и m се масите на телата во орбита,
• a е должината на големата полуоска.

За да се претворат радијаните во единца време во завртувања во единица ден, треба да се има предвид следново:

${\displaystyle {\rm {{\frac {radians}{time\ unit}}\times {\frac {1\ revolution}{2\pi \ radians}}\times }}{\frac {d\ {\rm {time\ units}}}{1{\rm {\ day}}}}={\frac {d}{2\pi }}{\rm {\ revolutions\ per\ day}}}$

Од погоре, средното движење во радијани о единица време е:

${\displaystyle n={\frac {2\pi }{T}},}$

па ѕака средното движење иразено во завртувања во ден е:

${\displaystyle n={\frac {d}{2\pi }}\cdot {\frac {2\pi }{T}}={\frac {d}{T}},}$

каде T е орбиталниот период, спомнат погоре.

Поврзано

• Гаусова гравитациска константа
• Кеплерова орбита
• Средна аномалија
• Средна должина
• Орбитални елемент

Белешки

1. Да не се прави грешка дека μ, гравитацискиот параметар е исто што и μ, смалената маса.
2. Гаусовата гравитациска константа, k, вообичаено се изразува како радијани во ден и Њутновата константа, G, се изразува во SI системот. Да се внимава кога ќе се претвораат.

Наводи

1. Seidelmann, P. Kenneth; Urban, Sean E., уред. (2013). Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac (3. изд.). University Science Books, Mill Valley, CA. стр. 648. ISBN 978-1-891389-85-6.
2. Roy, A.E. (1988). Orbital Motion (third. изд.). Institute of Physics Publishing. стр. 83. ISBN 0-85274-229-0.
3. Brouwer, Dirk; Clemence, Gerald M. (1961). Methods of Celestial Mechanics. Academic Press. стр. 20–21.
4. Vallado, David A. (2001). Fundamentals of Astrodynamics and Applications (second. изд.). El Segundo, CA: Microcosm Press. стр. 29. ISBN 1-881883-12-4.
5. Battin, Richard H. (1999). An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics, Revised Edition. American Institute of Aeronautics and Astronautics, Inc. стр. 119. ISBN 1-56347-342-9.
6. Vallado, David A. (2001). p. 31.
7. Vallado, David A. (2001). p. 53.
8. Vallado, David A. (2001). p. 30.
9. Bate, Roger R.; Mueller, Donald D.; White, Jerry E. (1971). Fundamentals of Astrodynamics. Dover Publications, Inc., New York. стр. 32. ISBN 0-486-60061-0.
10. Vallado, David A. (2001). p. 27.
11. Bate, Roger R.; Mueller, Donald D.; White, Jerry E. (1971). p. 28.
12. U.S. Naval Observatory, Nautical Almanac Office; H.M. Nautical Almanac Office (1961). Explanatory Supplement to the Astronomical Ephemeris and the American Ephemeris and Nautical Almanac. H.M. Stationery Office, London. стр. 493.
13. Smart, W. M. (1953). Celestial Mechanics. Longmans, Green and Co., London. стр. 4.
14. Vallado, David A. (2001). p. 54.

Надворешни врски

• Glossary entry mean motion Архивирано на 19 август 2017 г. at the US Naval Observatory's Astronomical Almanac Online Архивирано на 20 април 2015 г.