Закон за запазување

Законот за запазување тврди дека мерливите својства на изолираниот физички систем не се менуваат, како што системот се развива со текот на времето. Точното запазување на законите вклучува запазување на енергија, запазување на импулсот, запазување на аголниот момент и запазување на електричниот полнеж. Исто така, постојат многу закони за приближно запазување, кои се применуваат за величини како што се: маса, парност, лептонскиот број , барионскиот број, чудноста, хиперполнеж, итн. Овие величини се запазуваат во одредени класи на физичките процеси, но не во сите.

Месно законот за запазување се изразува како равенка на континуитет или како парцијална диференцијална равенка која дава врска помеѓу количеството величина и „преносот“ на таа величина Според тоа може да се каже дека износот на запазената величина во една точка или определена зафатнина може да се промени само од износот на количеството величина која се влева во или надвор од зафатнината.

Од Нетеровата теорема, секој закон за запазување е поврзан со симетрија во основната физика.

Законите за запазување како основни закони на природата

Законите за запазување се од темелно значење за нашето разбирање на физичкиот свет, бидејќи со нив се опишува што може или не може да се случи во природата.На пример,според законот за зачувување на енергија вкупното количество на енергија во изолиран систем не се менува, и покрај тоа што се менува обликот. Во принцип, вкупната величина под влијание на својствата на законот остануваат непроменети во текот на физичките процеси. Во однос на класичната физика, запазувањето на законите вклучува запазување на енергијата, масата (или материјата), импулсот, аголниот момент, и електричен полнеж. Според честичната физика, не може да биде создадена или уништена, потребни се секогаш парови честички, каде едната е честичка, а другата е античестичка.Во однос на симетријата и начелата на непроменливоста, опишани се три закони за запазување, поврзани со непроменливоста и пресвртот на просторот, времето и полнежот.

Законите за запазување се сметаат за основни закони на природата, со широка примена во физиката, како и во други области како што се хемијата, биологијата, геологијата и инженерството.

Повеќето закони за запазување се точни, или апсолутно, во смисла на тоа дека тие се однесуваат на сите можни процеси. Некои закони за запазување се делумни, со тоа што тие важат за одредени процеси, но не за други.

Еден особено важен резултат поврзан со законите за запазување е Нетеровата теорема,според која постои поврзаност еден-на-еден помеѓу секоја од нив и диференцијалната симетрија во системот. На пример ,запазувањето на енергијата произлегува од непроменливоста на времето во физичките системи, како и фактот дека физичките системи се однесуваат на ист без разлика на тоа како тие се поставени во просторот доведува во запазување на аголниот момент.

Точни закони

Делумен список за физичко запазување на равенки кое се должи на симетрија и за кои се вели дека се точни закони, или поточнo никогаш не е докажано дека биле прекршени:

Закон за запазување	Соодветна Нетерова непроменлива симетрија		Број на димензии
Запазување на масата и енергијата	Непроменливо време	Лоренцова коваријанса	1	транслација околу временската оска
Запазување на импулсот	Транслаторна симетрија		3	транслација за x, y, z - положбите
Запазување на аголниот момент	Вртежна симетрија		3	ротација околу x, y, z - оските
CPT симетрија (комбинирање на полнеж, парност и временска конјугација)	Лоренцова коваријанса		1+1+1	(промена на полнежот q→-q) + (промена на положбата R→-R) + (промена на времето t→-t)
Запазување на електричен полнеж	Баждарна теорија		1⊗4	скаларно поле (1D) во 4D простор-време (x, y, z + време)
Запазување на бојата на полнежот	SU(3) Баждарна теорија		3	RGB
Запазување на слабиот изоспин	SU(2)L Баждрана теорија		1	слаб полнеж
Запазување на веројатноста	Непроменлива веројатност		1⊗4	вкупната веројатност е секогаш = 1 низ целиот x, y, z простор, со текот на развојот на времето

Приближни закони

Исто така, постојат приближни запазувања на законите. Тие се приближно точни во одредени ситуации, како што се мали брзини, кратко времени размери, или некои интеракции.

• Закон за запазуање на масата во мирување
• Запазување на барионскиот број
• Запазување на лептонскиот број (Во стандардниот модел)
• Запазување на вкусот (нарушен од слабото заемодејство)
• Запазување на паритет
• Непроменлива C-симетрија
• Непроменлива Т-симетрија
• CP-симетрија, комбинација од полнежна и парна конјугација (подеднакво на времеснки пресврт доколку важи CPT )

Диференцијални облици

Поврзано: Запазувачки облик и равенка на континуитетот

Во механиката на континуумот, најопшт облик на точното запазување на законот е дадена со равенката на континуитетот. На пример, запазување на електричен полнеж q е

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {j} \,}$

каде ∇⋅ е оператор на дивергенција, ρ е густината на q (количина по единица волумен), j е текот (флуксот) низ q (количество кое минува низ единица површина во единица време), и t е времето.

Ако претпоставиме дека движењето u на полнежот е непрекината функција од положбата и времето тогаш

${\displaystyle \mathbf {j} =\rho \mathbf {u} }$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )\,.}$

Во една просторна димензија ова може да се стави во хомоген облик од квазилинискахиперболична равенка^[1]

${\displaystyle y_{t}+A(y)y_{x}=0}$

каде зависната променлива y се нарекува густина на запазено количество, и A (y) се нарекува јакобинска струја при што се употребени парцијални изводи. Поопшт нехомогени случаи се:

${\displaystyle y_{t}+A(y)y_{x}=s}$

не е запазена равенка,но општ вид на рамнотежна равенка која опишува дисипативен систем. Зависната променлива y се нарекува незапазена величина, и нехомогена израз s (Y, X, t) е извор на дисипацијата. На пример, рамнотежните равенки од овој вид се равенките за импулсот и енергијата, Навје-Стоксовите равенки , или ентропичната рамнотежа за општ изолиран систем.

Во едно-димензионален простор запазената равенка е од прв хиперболичен ред во следниот облик :

${\displaystyle y_{t}+a(y)y_{x}=0}$

каде зависната променлива y (x, t) се нарекува густина на запазено (скаларно) количество ( (d) = запазено количество (густина)), и (y) се нарекува струен коефициент, обично одговара на парцијалниот извод на густината на струјата или на запазени количества j(y) .^[1]

${\displaystyle a(y)=j_{y}(y)}$

Во овој случај, се употребува извод од сложена функција :

${\displaystyle j_{x}=j_{y}(y)y_{x}=a(y)y_{x}}$

равенката за зачувување може да се стави вооблик на сегашна густина :

${\displaystyle y_{t}+j_{x}(y)=0}$

Во простор со повеќе од една димензија поранешна дефиниција може да се прошири на равенката која може да се запише во облик:

${\displaystyle y_{t}+\mathbf {a} (y)\cdot \nabla y=0}$

каде запазеното количество y (R, T), означува скаларен производ, ∇ е набла оператор, овде укажува на градиент, и (y) е вектор на струјните коефициенти, аналогно што одговара на дивергенцијата на вектор c.d. поврзани со c.q. j (y):

${\displaystyle y_{t}+\nabla \cdot \mathbf {j} (y)=0}$

Ова е случај за равенката на континуитетот:

${\displaystyle \rho _{t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$

Овде запазеното количество е на маса, со густина ρ (R, T) и тековната ρu густина на струјата, идентична на густината на импулсот. додека u (R, T) е брзината на протокот.

Во општ случај на равенката за запазување може да биде, исто така, систем на равенки (а векторска равенка) во облик:^[1]

${\displaystyle \mathbf {y} _{t}+\mathbf {A} (\mathbf {y} )\cdot \nabla \mathbf {y} =\mathbf {0} }$

каде што y е наречен запазено (векторско) количество, ∇ y е неговиот градиент, 0 е нулти вектор, и A (y) се нарекува Јакобијан на густината на струјата. Всушност, како и во претходниот скаларен случај, исто така, во случајот на вектор (y) обично одговара сегашната густина. J (y):

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {y} )=\mathbf {J} _{\mathbf {y} }(\mathbf {y} )}$

и равенката за запазување може да се запише во облик:

${\displaystyle \mathbf {y} _{t}+\nabla \cdot \mathbf {J} (\mathbf {y} )=\mathbf {0} }$

На пример, овој случај за Ојлерови равенки (динамика на флуиди). Во едноставни некомпресибилни случаи тие се:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {u} =0\\[1.2ex]{\partial \mathbf {u} \over \partial t}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} +\nabla s=\mathbf {0} ,\end{aligned}}}$

каде што:

u е векторот на брзинскиот проток, со компоненти во N-димензионален простор  u₁, u₂ ... u_N,

s е специфичен притисок (притисок по единица густина) со што се добива изворен поим,

Погледајте и: Ојлерови равенки (динамика на флуиди)

Може да се покаже дека запазената (векторска) величина и c.d. за овие равенки се:

${\displaystyle {\mathbf {y} }={\begin{pmatrix}1\\\mathbf {u} \end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {J} }={\begin{pmatrix}\mathbf {u} \\\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +s\mathbf {I} \end{pmatrix}};\qquad }$

каде ${\displaystyle \otimes }$ го означува надворешниот производ.

Составени и слаби форми

Равенките на запазувањето може да се изразат и како интеграли. Предноста на вториот е значајно тоа што тој бара помалку мазност на решенијата, кој го отвора патот за слабиот облик, проширување на класа на прифатливи решенија за вклучување на дисконтинуирани решенија ^[2]. Со интегрирање во било кој простор-време домен форма густината на струјата во 1-D простор е:

${\displaystyle y_{t}+j_{x}(y)=0}$

и со користење на Гриновата теорема, интегралниот облик ќе биде:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }ydx+\int _{0}^{\infty }j(y)dt=0}$

На сличен начин, за скаларен повеќедимензионален простор, интегралниот облик е:

${\displaystyle \oint [yd^{N}r+j(y)dt]=0}$

каде што линиската интеграција се врши по должината на границата на доменот, во насока спротивна на часовникот.^[2]

Покрај тоа, со дефинирање на тест функција φ (R, T) непрекинато диференцијабилна по време и простор, со компактна поддршка, слабиот облик може да се добијат и да се вратат на почетната состојба. Во 1-D простор е:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\phi _{t}y+\phi _{x}j(y)dxdt=-\int _{-\infty }^{\infty }\phi (x,0)y(x,0)dx}$

Имајте на ум дека во слабиот облик сите парцијални изводи на густината и густината на струјата се пренесува како тест функција, кој со претходната хипотеза е доволно мазна за да се признаат овие изводи.^[2]

Поврзано

• Запазени величини
• Риманови непроменливи
• Дисипативен систем
• Рамнотежна равенка
• Филозофија на физиката
• Симетрија во физиката
• Тоталитарен принцип
• Конвекциона-дифузна равенка

Примери и примени

• Адвекција
• Запазување на масата, или равенка на континуитетот
• Запазување на полнежот
• Ојлерови равенки (динамика на флуидите)
• Кинематички бран
• Запазување на енергијата
• Проток на сообраќајот

Наводи

1. see Toro, p.43
2. see Toro, p.62-63

Наводи

• Philipson, Schuster, Modeling by Nonlinear Differential Equations: Dissipative and Conservative Processes, World Scientific Publishing Company 2009.
• Victor J. Stenger, 2000. Timeless Reality: Symmetry, Simplicity, and Multiple Universes. Buffalo NY: Prometheus Books. Chpt. 12 is a gentle introduction to symmetry, invariance, and conservation laws.
• Toro, E.F. (1999). Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Chapter 2. Notions on Hyperbolic PDEs. Springer-Verlag. ISBN 3-540-65966-8.
• E. Godlewski and P.A. Raviart, Hyperbolic systems of conservation laws, Ellipses, 1991.

Надворешни врски

• Conservation Laws Архивирано на 1 јуни 2020 г. — Page 285-442 in an online textbook