Нормалност (математика)

Во геометријата, две прави во рамнина се (меѓусебно) нормални ако се сечат под прав агол, т.е. под агол со 90°.^[1] Оваа дефиниција има два дела: (а) нормални прави се сечат и (б) четирите агли кои се формираат со пресекот се по 90°.

• Две отсечки во рамнина се нормални ако правите на кои лежат отсечките се нормални. На истиот начин се дефинира нормалност на сите комбинации на права, полуправа и отсечка.^[2]
• При цртање, за да се означи дека две прави се нормални се црта симбол за прав агол кај пресекот на двете прави. Во РМ се користи мал лак со точка, а друго означување е со мало квадратче.^[3].

Нормални прави.	Нормални прави формираат 4 прави агли.	Нормални отсечки.		Означување на прав агол (нормалност).

Означување

Симбол за нормалност е  ${\displaystyle \perp }$ . На пример, ${\displaystyle AB\perp CD}$ значи дека правите AB и CD се нормални. Симболот се совпаѓа со Буловиот симбол за невистинит, но контекстот е сосема различен така што не се мешаат.

• Нормалност како паралелност е симетрична особина, односно  ${\displaystyle AB\perp CD}$  е еквивалентно со  ${\displaystyle CD\perp AB}$ , па затоа едноставно велиме дека AB и CD се нормални.
• За разлика од паралелност, нормалност не е транзитивна особина. На против, ако  ${\displaystyle AB\perp CD}$  и  ${\displaystyle CD\perp EF}$  тогаш   ${\displaystyle AB\parallel EF}$ .

Во уникод, симболот за нормалност на вашиот тековен прелистувач се прикажува со ⊥ и е уникод бројот 8869. Соодветните хексадецимален број се 22а5. На мрежно место, т.е. во ХТМЛ се внесува ⊥ или &#x22а5;.^[4] За внесување на уникод симболи во текст уредувачи на Microsoft се внесува хексадецималниот код, па веднаш потоа се притиска Alt+x.^[5] Во уникод има и симболи ⊾ (⊾) и ∟ (∟).

Во LaTeX, симболот  ${\displaystyle \perp }$   за нормалност се добиваат со командата \perp која е дел од пакетот wasysym.

Во Геогебра, симбол при цртање на прав агол се менува во Опции -> Напредно -> Ознака за прав агол, па се избере точка.

Нормални прави и наклон

Во алгебра, права во рамнина има наклон, односно број кој го опишува правецот и стрмноста на правата. Ако е дадена правата во експлицитен облик y=ax+b, тогаш коефициентот a на x е наклонот на правата.

Основна поставка: Две прави се нормални ако и само ако производот на нивните наклони е -1.^[6]

Пример: Правите y= -3x+2 и y =^x/₃+2 се нормални бидејќи наклонот на првата права е a₁= -3, а наклонот на втората права е a₂=¹/₃ така што a₁·a₂= -3·¹/₃ = -1.

Пример: Правите 2x-y+3=0 и x-2y-1=0 не се нормални бидејќи производот на нивните наклони е 2·¹/₂=1 (а не -1).

• Две прави се нормални само ако едната има позитивен наклон, а другата има негативен наклон.
• Ако правата m е нормална на правата n, a правата n е нормална на правата p, тогаш правите m и p или се паралелни или се совпаѓаат (т.е. наклоните им се исти).

Доказ: Нека наклон на m e a. Од нормалноста на m и n, наклонот на n е ^-1/_a. Од нормалноста на n и p, наклонот на p е

${\displaystyle {\frac {-1}{\left({\tfrac {-1}{a}}\right)}}={\frac {1}{\left({\tfrac {1}{a}}\right)}}=a}$.

Нормала на права низ точка во рамнина

Конструкција на нормала на права низ точка која не лежи на правата со Геогебра. Види и навода![7]

Конструкција со шестар и линијар

Една од основните конструкции со шестар и линијар е конструкција на права нормална со дадена права m која минува низ дадена точка C која лежи/не лежи на m.^[8]

1. Со линијар нацртај права и точка која не лежи на правата (види наводи за точка на права).
2. Означи ја точката со буквата С.
3. Доколку нема, означи две посебни точки А и В на правата (релативно блиски една до друга и до точката С).
4. Со шестар нацртај една кружница со полупречник АС и центар А.
5. Со шестар нацртај друга кружница со полупречник ВС и центар В.
6. Означи ја другата пресечна точка D на двете кружници (едната пресечна точка е С).
7. Нацртај ја правата CD која минува низ двете пресечни точки.

Правата CD врви низ С и е нормална на правата АВ.

Алгебарска равенка

Нека е дадена точка C со координати С=(p,q) и права

${\displaystyle y=ax+b\,}$

Равенката на права која минува низ С(p,q) и е нормална на дадената права е

${\displaystyle y={\frac {-1}{a}}(x-p)+q\,}$

Доказ: Наклонот на дадената права е a. Според основната поставка, наклонот на (која било) нормала е ⁻¹/_a. Значи бараната нормала го има тој наклон, а минува низ точката (p,q). (Види и Формули за равенка на права.)

Пример: Равенката на нормалата на правата y=3x+2 која минува низ точката (-1,-1) е: y=^-x/₃-⁴/₃.

Нормала и растојание

Нормали се користат за пресметување на растојание помеѓу геометриски објекти.

Растојание помеѓу точка и права во рамнина

За да се пресмета растојание помеѓу точка C=(p,q) и права m, најпрво треба да се најде равенката на правата n која е нормална на правата m, а минува низ точката C. Потоа треба да се најдат координатите на прeсечната точка D на правите n и m. Тогаш растојанието помеѓу С и m е растојанието помеѓу точките С и D.

Пример: Нека точката C=(-4,2), a правата m нека е дадена експлицитно y=^x/₂-1. Тогаш наклонот на правата m e ½, така што наклонот на нормалата n е

${\displaystyle {\frac {-1}{\tfrac {1}{2}}}=-2}$

со што равенката на n e

${\displaystyle y=-2(x-(-4))+2\,\,\,\Rightarrow \,\,\,y=-2x-6}$

Пресекот на правите m и n е решение на систем линеарни равенки

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}y={\tfrac {x}{2}}-1\\y=-2x-6\end{array}}\right.}$

Решението е D(-2,-2). Растојанието помеѓу точките С и D е

${\displaystyle \delta ={\sqrt {(-4-(-2))^{2}+(2-(-2))^{2}}}={\sqrt {(-2)^{2}+4^{2}}}={\sqrt {20}}\approx 4,47}$

Следува дека растојанието помеѓу точката С и правата m е ≈4,47

Растојание помеѓу две паралелни прави во рамнина

Види паралелни прави

Растојание во 3Д простор

Види аналитичка геометрија

Нормали на крива

Во математичката дисциплина калкулус (диференцијално сметање) е дефиниран поимот извод. Да претпоставиме дека y=f(x) е реална функција од една реална променлива и е диференцијабилна во точката x_o и дека вредноста на функцијата во таа точка е y_o=f(x_o), а вредноста на изводот во таа точка е y'_o=y'(x_o).

Тогаш равенката на тангентата на функцијата во таа точка е

${\displaystyle T:\,\,\,y=y_{o}^{'}(x-x_{o})+y_{o}}$

а равенката на нормалата на функцијата во таа точка е^[9]

${\displaystyle N:\,\,\,y={\frac {-1}{y_{o}^{'}}}(x-x_{o})+y_{o}}$

Нормалност и вектори

Основна поставка: Во аналитичка геометрија, два полупречнички вектори се нормални ако и само ако нивниот скаларен производ е 0. (Види и аналитичка геометрија.)

Нормалност во 3Д простор

• Во 3-димензионален простор, права и рамнина се нормални ако правата и рамнината се сечат во една точка А и правата е нормална со секоја права од рамнината која минува низ А.

Права зададена во параметарски (векторски, вектор-параметарски) облик е

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{*{20}{l}}{x(t)={x_{1}}+{a}t}\\{y(t)={y_{1}}+{b}t}\\{z(t)={z_{1}}+{c}t}\end{array}}\right.}$  ,  ${\displaystyle t\in \Re }$

Рамнина зададена во општ облик е

${\displaystyle Ax+By+Cz=D}$

Поставка: Правата и рамнината се нормални ако полупречничките вектори <a,b,c> и <A,B,C> се колинеарни (линеарно зависни), односно ако

${\displaystyle {\frac {a}{A}}={\frac {b}{B}}={\frac {c}{C}}}$

Формула: Равенка на рамнина која е нормална со полупречник-векторот <a,b,c>, а врви низ точката C(x_o,y_o,z_o) e

${\displaystyle a(x-x_{o})+b(y-y_{o})+c(z-z_{o})=0}$

• Во 3-димензионален простор, две рамнини се нормални ако нивниот просторен агол е прав агол. Види и аналитичка геометрија.

Нека се дадени две рамнини во општ облик, односно

${\displaystyle Ax+By+Cz=D}$

${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z=D_{1}}$

Поставка: Рамнините се нормални ако полупречничките вектори <A,B,C> и <A₁,B₁,C₁> се нормални, односно ако нивниот скаларен производ е 0.

${\displaystyle A\cdot A_{1}+B\cdot B_{1}+C\cdot C_{1}=0}$

Обопштување

Нормалност како поим во елементарна геометрија се обопштува во поимот ортогоналност во класична математика.

Наводи

1. Math Open Reference (2009). „Perpendicular lines“ (англиски). Посетено на 1 септември 2013.^{[мртва врска]} интерактивен }
2. C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Perpendicular“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 599. Посетено на 1 мај 2014.
3. Pierce, R. (2012). „Symbols in Geometry“ (англиски). Math is Fun. Посетено на 1 септември 2013.
4. „Unicode Entity Codes for Math“ (англиски). 2013. Архивирано од изворникот на 2013-11-27. Посетено на 1 септември 2013.
5. „Unicode Input“ (англиски). Wikipedia. Посетено на 1 септември 2013.
6. Math Open Reference. „Perpendicular lines (Coordinate geometry)“ (англиски). Посетено на 1 септември 2013.^{[мртва врска]} интерактивен
7. Институт за Геогебра на МКД. „Конструкција на нормала низ точка која лежи на права“. Архивирано од изворникот на 2012-04-13. Посетено на 1 септември 2013.
8. Math Open Reference (2009). „Constructing a perpendicular line through a given point with compass and straightedge“ (англиски). Посетено на 1 септември 2013. интерактивно
9. Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 555. Посетено на 1 септември 2013.

Поврзано

• Права (геометрија)
• Прав агол
• Наклон
• Паралелни прави
• Ортогоналност
• Аналитичка геометрија

Надворешни врски

• Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод) (2013). „Геогебра алатка: Нормала“. Архивирано од изворникот на 2014-10-18. Посетено на 1 септември 2013.
• Стефановска, Л. (2012). „Равенки на тангента и нормала на крива“. Connexions. Посетено на 1 септември 2013.
• Стојановска, Л. (2010). „Видеа за калкулус“. Архивирано од изворникот на 2013-07-02. Посетено на 1 септември 2013.