Евклидов простор

Секоја точка во тридимензионалниот простор е определена од три координати

Во математиката, Евклидовиот простор е тридимензионален простор на Евклидова геометрија, како и воопштување на овие поими за повисоки димензии. Поимот “Евклидов“ ги разликува овие три простори од закривените простори на не Евклидова геометрија и општа теорија за релативноста и е именуван според старогрчкиот математичар Евклид од Александрија. Класичната старогрчка геометрија го дефинира Евклидовиот простор користејќи одредени аксиоми, додека другите својства на овие простори се определени како теореми. Во модерната математика Евклидовиот простор почесто се дефинира со Декартов координатен систем и идеите на аналитичка геометрија. Овој пристап ги доведува алатките на алгебра и калкулус да сносат прашања на геометрија и ја има предноста да се воопштува лесно до Евклидовите простори на повеќе од три димензии. Од оваа модерна гледна точка, постои само еден Евклидов простор за секоја димензија. Во првата димензија ова е вистинска линија; во втората димензија е Декартов простор; а во повисоките димензии е координатен простор со три или повеќе координати од реални броеви. Накратко n – димезионален, реален координатен простор. Точката во Евклидовиот простор може да се идентификува како секвенца од реални броеви, а растојанијата се дефинирани користејќи ја Евклидовата формула за растојание. Математичарите често го означуваат n–димензионалниот Евклидов простор со ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, или понекогаш ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$ ако сакаат да ја истакнат неговата Евклидова природа. Евклидовите простори имаат ограничена димензија.

Интуитивен преглед

Еден начин на гледање на Евклидовиот простор е како множество од точки кои задоволуваат одредени врски, изразени во износи на растојание и агли. На пример, има две основни операции на просторот. Една е транслација, што значи подигање на просторот така што секоја точка е подигната во истата насока и за исто растојание. Другата е ротација околу фиксирана точка во просторот во која секоја точка во просторот се врти околу таа фиксирана точка под ист агол. Едно од основните правила на Евклидовата геометрија е две фигури(т.е подмножество) од просторот треба да бидат сметани за еквивалентни (еднакви) ако едната може да биде трансформирана во другата по некој редослед од транслации, ротации и рефлексии. За да сето ова биде математички точно, мора точно да се дефинираат поимите за растојание, агол, транслација и ротација. Стандарден начин да се направи ова е да се дефинира Евклидовиот простор како дводимензионален реален векторски простор со внатрешен производ. Тогаш:

• Векторите во векторскиот простор кореспондираат на точките од евклидовиот простор,
• Операцијата за собирање во векторскиот простор кореспондира на транслација, и
• Внатрешниот производ подрабира поими за агол и растојание, што може да биде употребено за да се дефинира ротација.

Кога еднаш евклидовиот простор е опишан во овој јазик, едноставно е да се прошири неговиот концепт кон произволни димензии. За поголемиот дел, вокабуларот, формулите и пресметките не се потешки од присуството на повеќе димензии. Последна пречка е тоа што евклидовиот простор технички не е векторски простор туку трансформиран простор на кој е ставен векторскиот простор. Интуитивно разликата кажува само дека не постои канонски избор каде да биде почетокот во просторот, затоа што може да биде секаде. Во оваа статија оваа терминологија е занемарена.

Реален координатен простор

Реален координатен простор Нека Rⁿ го означува множеството на реални броеви.За каков било позитивен цел број n, множеството од сите n-ти реални броеви формира еден n-димензионален векторски простор над R,кој се означува како Rⁿ и се нарекува реален координатен простор.Елемент Rⁿ од се пишува:

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$

Каде секој x_i е реален број.Операциите на векторскиот простор на Rⁿ се дефинирано со:

${\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} =(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n}),}$

${\displaystyle a\,\mathbf {x} =(ax_{1},ax_{2},\ldots ,ax_{n}).}$

Векторскиот простор Rⁿ има стандардна основа:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}&=(1,0,\ldots ,0),\\\mathbf {e} _{2}&=(0,1,\ldots ,0),\\&{}\,\,\,\vdots \\\mathbf {e} _{n}&=(0,0,\ldots ,1).\end{aligned}}}$

Произволен вектор на Rⁿ може да биде напишан во следната форма:

${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}.}$

Rⁿ е прототипски пример на реален n-димензионален векторски простор.Всушност,секој реален n-димензионален векторски простор V е изоморфен на Rⁿ. Овој изоморфизам сепак не е канонски.Изборот на изоморфизам е еквивалентен на изборот на основа за V(гледајќи ја сликата од стандардната основа на Rⁿ во V). Причина за работењето со произволни векторски простори наместо со Rⁿ е затоа што често се претпочита да се работи со простор без координати(тоа е,без одбирање на поагилна основа).

Евклидова структура

Евклидовиот простор е повеќе од реален координатен простор.Со цел да се применува Евклидовата геометрија треба да се биде способен за зборување за растојанијата помеѓу точки и аглите помеѓу линии или вектори.Природниот начин да се здобијат овие ведности е со воведување и користење на стандардниот внатрешен производ(исто така познат како производ точка) на Rⁿ .Внатрешниот производ на било кои два реални n-вектори x и y е дефиниран со:

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}.}$

Резултатот е секогаш реален број.Понатаму,внатрешниот производ на x по сам со себе е секогаш ненегативен.Овој производ ни овозможува да ја дефинираме "должината" на векторот x како:

${\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i})^{2}}}.}$

Оваа функција за должина ги задоволува бараните особини на нормата и е наречена Евклидова норма на Rⁿ.

(Не-рефлексивниот) агол θ (0° ≤ θ ≤ 180°) помеѓу x и y тогаш е даден со:

${\displaystyle \theta =\cos ^{-1}\left({\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }{\|\mathbf {x} \|\|\mathbf {y} \|}}\right)}$

Каде што cos⁻¹ е аркосинусна функција.

Конечно,нормата може да се користи за да се дефинира метрички систем (или финкција за растојание) на Rⁿ со:

${\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.}$

Оваа функција за растојание е наречена Евклидов метрички систем.Може да се разгледува како форма на Питагоровата теорема. Реален координатен простор заедно со оваа Евклидова структура е наречена Евклидов простор и често се озачува со Eⁿ.( Многу автори го изразуваат Rⁿ како Евклидов простор,заедно со веќе разбраната Евклидова структура). Евклидовата структура го прави Eⁿ простор на внатрешниот производ(всушност Хилбертов простор),нормален векторски простор, и метрички простор.

Ротации на Евклидов простор се потоа дефинирани како ориентациски-зачувани линеарни трансформации Т кои ги сочувуваат аглите и должините:

${\displaystyle T\mathbf {x} \cdot T\mathbf {y} =\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} ,}$

${\displaystyle |T\mathbf {x} |=|\mathbf {x} |.}$

Во јазикот на матриците,ротациите се специјални ортогонални матрици.

Топологија на Евклидовиот простор

Евклидовиот простор е метрички простор, исто така претставува и тополошки простор со природна топологија предизвикана со мерење. Метричката топологија на Eⁿ се нарекува Евклидова топологија. Просторот е отворен во Евклидовата топологија ако и само ако содржи отворена топка околу секоја од своите точки. Евклидовата топологија излезе еквивалентна со производот на топологијата на Rⁿ која се смета како производ од n копии на реалната линија R (со својата стандардна топологија).

Важен резултат на топологијата на Rⁿ, кој е далеку површна, е Броуверов домен. Секое подмножество на Rⁿ (со неговата подтопологија), која ехомоморфична на друго отворено подмножество на Rⁿ кое е само по себе отворено. Непосредна последица на ова е дека R^m не е хомоморфична на Rⁿ ако m ≠ n &mdash на интуитивно "очигледно" резултат што е сепак тешко да се докаже.

Воопштувања

Во современата математика, Евклидовите простори формираат прототипови за други, повеќе комплицирани геометриски објекти. На пример, рамниот манифолд е Хаусдорф тополошки простор кој е локално дифеоморфичен на Евклидовиот простор.Дифеоморфизмот не почитува растојание и агол, па овие клучни концепти на Евклидовата геометрија се изгубени на рамен манифолд. Меѓутоа, ако една дополнително пропишува непречено различен внатрешен производ на тангентните простори на манифолдот, тогаш резултатот е она што се нарекува Riemannian manifold. Поинаку кажано, еден Riemannian manifold е простор конструиран со деформирање и спојување заедно Евклидови простори. Таков простор содржи поими на растојание и агол, кои се однесуваат во крив, неевклидов начин. Наједноставниот Riemannian manifold, кој се состои од Rⁿ со постојан внатрешен производ, во суштина е идентичен со Евклидовиот n-простор себе. Ако некој менува Евкилидов простор така што неговиот внатрешен производ станува негативен во повеќе од една насока, тогаш резултатот е псевдо- Евклидов простор. Рамните манифолди се изградени од такви простори што се нарекуваат псевдо-Riemanniаn manifold. Можеби нивната најпозната примена на теоријата за релативноста, каде што празните временски простори без материи се претставени од рамниот псевдо-Евклидов простор наречен Минковскиев простор, временските простори со материи во нив формираат друг псевдо-Riemanniаn manifold,и гравитацијата кореспондира на искривувањето на таков манифолд. Нашиот универзум, кој е субјект на релативноста, не е Евклидов. Ова станува значајно во теоретски размислувања за астрономијата и космологијата, и исто така и во некои практични проблеми како што сеглобалното позиционирање и авионската навигација. Сепак, Евклидовиот модел на универзумот со доволно прецизност уште може да се користи за решавање на многу други практични проблеми.

Поврзано

• Риманова геометрија
• Декартов координатен систем
• Поларен координатен систем
• Хилбертов простор

Наводи

• Kelley, John L. (1975). General Topology. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90125-6.
• Munkres, James (1999). Topology. Prentice-Hall. ISBN 0-13-181629-2.