힐베르트 공간

함수해석학에서 힐베르트 공간(Hilbert空間, 영어: Hilbert space)은 완비 내적 공간이다. 유클리드 공간을 일반화한 개념이다.

정의

${\displaystyle K}$가 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 또는 ${\displaystyle \mathbb {C} }$라고 하자. ${\displaystyle K}$-힐베르트 공간 ${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$은 완비 거리 공간을 이루는 ${\displaystyle K}$-내적 공간이다. 내적 공간으로서, 힐베르트 공간은 표준적인 위상 공간 및 거리 공간 및 벡터 공간 및 노름 공간의 구조를 갖는다.

이와 동치로, ${\displaystyle K}$-힐베르트 공간을 다음과 같은 평행사변형 항등식(平行四邊形恒等式, 영어: parallelogram identity)을 만족시키는 ${\displaystyle K}$-바나흐 공간 ${\displaystyle ({\mathcal {H}},\|\cdot \|)}$으로 정의할 수 있다.

${\displaystyle \|u+v\|^{2}+\|u-v\|^{2}=2(\|u\|^{2}+\|v\|^{2})\qquad \forall u,v\in {\mathcal {H}}}$

이 경우, 내적 구조는

${\displaystyle \langle u,v\rangle ={\begin{cases}{\frac {1}{4}}\left(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}\right)&K=\mathbb {R} \\{\frac {1}{4}}\left(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}+i\|u+iv\|^{2}-i\|u-iv\|^{2}\right)&K=\mathbb {C} \\\end{cases}}}$

가 된다.

분류

힐베르트 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$의 정규 직교 기저 ${\displaystyle B\subset {\mathcal {H}}}$는 다음과 같은 두 성질을 만족시키는 부분집합이다.

• 모든 ${\displaystyle e,e'\in B}$에 대하여,
  ${\displaystyle \langle e,e'\rangle ={\begin{cases}0&e\neq e'\\1&e=e'\end{cases}}}$
• 다음 집합은 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 속의 조밀 집합이다.
  ${\displaystyle \operatorname {Span} B=\left\{a_{1}e_{1}+\cdots +a_{n}e_{n}|n\in \mathbb {N} ,\;e_{1},\dots ,e_{n}\in B,\;a_{1},\dots ,a_{n}\in K\right\}\subset {\mathcal {H}}}$

초른 보조정리에 의하여, 모든 힐베르트 공간은 정규 직교 기저를 갖는다. 주어진 힐베르트 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$의 모든 정규 직교 기저의 크기는 항상 같은 기수임을 보일 수 있으며, 이 기수를 힐베르트 공간의 차원 ${\displaystyle \dim {\mathcal {H}}}$이라고 한다.

일반적으로, 힐베르트 공간의 정규 직교 기저는 벡터 공간의 기저를 이루지 않으며, 힐베르트 공간의 차원은 벡터 공간으로서의 차원보다 작거나 같다. 이는 벡터 공간의 경우 ${\displaystyle \operatorname {Span} B={\mathcal {H}}}$를 필요로 하지만, 힐베르트 공간의 경우 ${\displaystyle \operatorname {Span} B}$가 오직 조밀 집합임이 족하기 때문이다.

두 ${\displaystyle K}$-힐베르트 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {H}}'}$ 사이에 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{[1]:1.4.19–1.4.21}

• ${\displaystyle \dim {\mathcal {H}}=\dim {\mathcal {H}}'}$
• ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$와 ${\displaystyle {\mathcal {H}}'}$ 사이에 유니터리 변환 ${\displaystyle U\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}'}$이 존재한다. 즉, 두 힐베르트 공간은 서로 동형이다.

따라서, 힐베르트 공간들은 차원에 따라 완전히 분류된다. 또한, ${\displaystyle K}$-힐베르트 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[1]:1.4.23

• ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$는 분해 가능 공간이다.
• ${\displaystyle \dim {\mathcal {H}}\leq \aleph _{0}}$이다.

즉, 분해 가능 힐베르트 공간의 차원은 음이 아닌 정수이거나 아니면 가산 무한 ${\displaystyle \aleph _{0}}$이다.

성질

리스 표현 정리에 따라서, 힐베르트 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$는 스스로의 연속 쌍대 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}}$와 동형이며, 만약 ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$일 경우 이는 표준적(영어: canonical) 동형이다.

예

${\displaystyle K}$가 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 또는 ${\displaystyle \mathbb {C} }$라고 하고, ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$가 측도 공간이라고 하자. 그렇다면 그렇다면 L² 공간 ${\displaystyle L^{2}(X,K)}$는 ${\displaystyle K}$-힐베르트 공간을 이룬다.^[1]:1.4.9

만약 ${\displaystyle X}$가 셈측도가 부여된 집합이라면

${\displaystyle \dim L^{2}(X,K)=|X|}$

이며, 함수

${\displaystyle f_{x}\colon X\to K\qquad (x\in X)}$

${\displaystyle f_{x}(y)={\begin{cases}1&x=y\\0&x\neq y\end{cases}}}$

는 ${\displaystyle L^{2}(X,K)}$의 정규 직교 기저를 이룬다.

만약 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$가 분해가능 시그마 대수(${\displaystyle d(A,B)=\mu (A\setminus B\cup B\setminus A)}$로 정의한 거리 공간이 분해 가능 공간인 경우)이며, 또한 ${\displaystyle X}$가 시그마 유한 공간(가산개의 유한 측도 부분집합들의 합집합)이라면, ${\displaystyle L^{2}(X,K)}$는 분해 가능 공간이다.^[1]:1.3.9

응용

힐베르트 공간은 해석학의 다양한 분야에 응용되며, 특히 편미분 방정식 이론에서 널리 쓰인다. 힐베르트 공간 중 하나인 소볼레프 공간이 편미분 방정식을 다룰 때 주로 등장한다.

푸리에 해석이 힐베르트 공간에서 이뤄진다.

양자역학에서, 양자계의 상태 공간은 분해 가능 사영 힐베르트 공간으로 나타내어진다.

역사

1907년에 리스 프리제시와 에른스트 지그스문트 피셔가 독립적으로 힐베르트 공간 중 하나인 L²가 완비 거리 공간임을 증명하였다.^[2] 1907년에 힐베르트 공간론에서 핵심적 정리 중 하나인 리스 표현 정리가 증명되었다.^[3] 1908년에 다비트 힐베르트와 에르하르트 슈미트가 발표한 적분방정식에 대한 논문에서 제곱 적분 가능한 두 함수의 내적 ${\displaystyle (f,g):=\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx}$이 등장한다. 이 공간은 힐베르트 공간인 ${\displaystyle L^{2}}$공간이 된다.^[4] 다비트 힐베르트가 1912년에 힐베르트 공간 ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$을 정의하였다.^[5] 이는 유클리드 공간이 아닌 최초의 힐베르트 공간으로 여겨진다. 이후 1929년에 존 폰 노이만^[6] 이 힐베르트 공간을 추상적으로 정의하였다.

각주

1. Tao, Terrence. 《Epsilon of Room, I: Real Analysis: pages from year three of a mathematical blog》 (PDF). Graduate Studies in Mathematics (영어) 117. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-5278-1. 
2. Bourbaki, Nicolas (1987), Topological vector spaces, Elements of mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13627-9
3. In Dunford & Schwartz (1958, §IV.16), the result that every linear functional on L2[0,1] is represented by integration is jointly attributed to Fréchet (1907) and Riesz (1907). The general result, that the dual of a Hilbert space is identified with the Hilbert space itself, can be found in Riesz (1934).
4. Schmidt, Erhard (1908), "Über die Auflösung linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten", Rend. Circ. Mat. Palermo, 25: 63–77, doi:10.1007/BF03029116
5. Hilbert, David (1912). 《Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen》. Fortschr. d. math. Wissensch. in Monographien hrsgb. von O. Blumenthal (독일어) 3. B. G. Teubner. JFM 43.0423.01. 
6. von Neumann, J. (1929). “Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 102: 49–131. doi:10.1007/BF01782338. ISSN 0025-5831. JFM 55.0824.02. 

참고 문헌

• Teschl, Gerald (2009). 《Mathematical methods in quantum mechanics with applications to Schrödinger operators》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 99. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4660-5. MR 2499016. Zbl 1166.81004. 
• Reed, Michael C.; Barry Simon (1980). 《Functional analysis》. Methods of modern mathematical physics (영어) 1. Academic Press. ISBN 0-12-585050-6. Zbl 0459.46001.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
• Halmos, Paul (1982). 《A Hilbert space problem book》 (영어). Springer. ISBN 0-387-90685-1. 
• Young, Nicholas (1988). 《An introduction to Hilbert space》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 0-521-33071-8. Zbl 0645.46024. 

외부 링크

• “Hilbert space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hilbert space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Hilbert space”. 《nLab》 (영어). 
• “Separable Hilbert space”. 《nLab》 (영어).