허수 단위

복소 평면에서의 ${\displaystyle \ i}$. 실수는 수평선에 놓이고, 허수는 수직선 위에 위치한다.

허수 단위(imaginary unit 또는 unit imaginary number) ${\displaystyle i}$는 제곱해서 -1이 되는 복소수를 말한다. 즉 이차 방정식 ${\displaystyle x^{2}+1=0}$을 만족하는 근 ${\displaystyle x}$ 중 하나인 ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$를 ${\displaystyle i}$라 표기한다. 이러한 성질을 만족하는 실수는 존재하지 않으므로 ${\displaystyle i}$를 통해 실수 체계를 복소수 체계로 확장할 수 있다.(한편, 어떤 사람은 ${\displaystyle -1^{2}=-1}$이므로 ${\displaystyle i=-1}$라고 말하는 사람도 있는데, 이는 틀린 표현이다.) 이때 확장된 덧셈과 곱셈은 여전히 결합 법칙과 교환 법칙, 그리고 분배 법칙을 만족함을 알 수 있다. 복소수에서는 상수 아닌 모든 다항식이 적어도 한 개의 근을 가진다는 사실이 알려져 있다(대수적으로 닫힌 체 또는 대수학의 기본 정리 참조).

제곱해서 ${\displaystyle -1}$이 되는 복소수는 두 개, 즉 ${\displaystyle i}$와 ${\displaystyle -i}$가 있다. 따라서 영 아닌 모든 실수는 두 개의 복소수 제곱근을 갖는다. 한편 영은 한 개의 제곱근만을 갖는다.

전자공학 등의 분야에서는 전류의 기호로 ${\displaystyle i}$를 사용하기 때문에, 혼동을 피하기 위해 허수단위를 ${\displaystyle j}$로 표기하는 경우도 있다.

또한, ${\displaystyle i}$는 정확한 수로 표현할 수 없다.(그것은 ${\displaystyle i}$의 순서를 정할 수 없기 때문이다.)

정의

허수 ${\displaystyle i}$는 다음과 같이 제곱해서 ${\displaystyle -1}$이 되는 수로 정의한다.

${\displaystyle i^{2}=-1}$ 또는 ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

위의 정의로부터 간단한 계산을 통하여 ${\displaystyle i}$와 ${\displaystyle -i}$ 모두 ${\displaystyle -1}$의 제곱근임을 알 수 있다. 그러나 제곱근 -1이라는 표현은 어디에서도 찾아볼 수 없다. ${\displaystyle i}$와 ${\displaystyle -i}$ 중에서 양수를 찾아야 하는데 순서체는 실수에서만 정의되기 때문이다.(정확하게, -1의 제곱근이라는 표현도 쓸 수 없다. 일상생활에서는 허수나 허수단위라고 하면 된다.)

직관적으로 허수를 받아 들이기에 실수보다 어렵지만 수학의 관점에서 허수를 만드는 과정은 완벽하다. 수식을 다룰 때 ${\displaystyle i}$를 미지수로 여기고, ${\displaystyle i^{2}}$이 나타나면 정의를 이용하여 ${\displaystyle -1}$로 바꾸는 것을 통해 실수의 연산을 허수 그리고 복소수로 확장할 수 있다. ${\displaystyle i}$의 세제곱, 네제곱, 다섯제곱 등은 다음과 같이 바꿀 수 있다.

${\displaystyle i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i}$

${\displaystyle i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1}$

${\displaystyle i^{5}=i^{4}i=(1)i=i}$

또한, 임의의 0이 아닌 실수처럼 다음이 성립한다.

${\displaystyle i^{0}=i^{1-1}=i^{1}i^{-1}=i^{1}{\frac {1}{i}}=i{\frac {1}{i}}={\frac {i}{i}}=1}$

복소수로서 ${\displaystyle i}$를 직교 형식으로 나타내면 ${\displaystyle 0+i}$로 1 단위의 허수 성분을 갖고 실수 성분은 영이다. 극 형식으로 ${\displaystyle i}$를 나타내면 ${\displaystyle 1e^{i\pi /2}}$이다. 즉, 절대값(또는 크기)가 ${\displaystyle 1}$이고 편각(또는 각)이 ${\displaystyle {\pi }/{2}}$이다. 복소 평면에서 ${\displaystyle i}$는 원점으로부터 허수 축(실수 축과 직각을 이루는)을 따라 ${\displaystyle 1}$ 단위의 위치에 있는 점이다.

i 그리고 −i

이차 방정식 ${\displaystyle x^{2}=-1}$은 중근을 갖지 않고 서로 다른 두 근을 갖는다. 이 두 근은 동등한 자격을 가지고 각각이 서로 다른 근의 덧셈과 곱셈의 역원이다. 좀 더 정확하게 방정식의 한 근 ${\displaystyle i}$가 주어지면 ${\displaystyle i}$와는 다른 값인 ${\displaystyle -i}$도 근이 된다. 방정식이 ${\displaystyle i}$의 정의로 주어졌기 때문에 ${\displaystyle i}$의 정의는 모호해 보인다(정확하게는 잘 정의된 것이 아니다). 그러나, 근 중의 하나를 골라 ${\displaystyle i}$라 하고 다른 근을 ${\displaystyle -i}$라 하면 모호함이 사라진다. 이러한 이유는 ${\displaystyle -i}$와 ${\displaystyle i}$가 양적으로 똑같지는 않지만(두 수는 각각 서로 다른 수의 음수), ${\displaystyle -i}$와 ${\displaystyle i}$를 대수적으로 구별할 수 없기 때문이다. 두 허수는 제곱해서 ${\displaystyle -1}$이 되는 수로서 동등한 자격을 갖는다.

성질

• ${\displaystyle i^{4n+1}=i}$
• ${\displaystyle i^{4n+2}=-1}$
• ${\displaystyle i^{4n+3}=-i}$
• ${\displaystyle i^{4n}=1}$ (이상, n은 정수)
• ${\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}$
• ${\displaystyle {\sqrt {-i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(-1+i)}$

오일러 공식

허수 단위를 e의 지수에 넣었을 때의 값을 계산하는 공식이 있다. 이를 오일러 공식이라 한다. 오일러 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle e^{i\theta }=\cos(\theta )+i\sin(\theta )}$

그로부터 다음과 같은 공식도 얻을 수 있다.

${\displaystyle x^{i\theta }=\cos({\theta \ln x})+i\sin({\theta \ln x})}$

${\displaystyle {\sqrt[{i\theta }]{x}}=x^{{1} \over {i\theta }}=\cos({{\ln x} \over {\theta }})-i\sin({{\ln x} \over {\theta }})}$

계승

허수 단위 ${\displaystyle i}$에 대한 계승 (수학) ${\displaystyle i!}$은 감마 함수로 표현될 수 있다.

${\displaystyle i!=\Gamma (1+i)\approx 0.4980-0.1549i}$

${\displaystyle i!}$의 절댓값은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \left\vert i!\right\vert ={\sqrt {\pi \over {\sinh \pi }}}}$

i의 i제곱

오일러 공식

${\displaystyle e^{i\theta }=\cos(\theta )+i\sin(\theta )}$

에 ${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2}}+2\pi n}$ (여기서 n은 정수)를 대입하면

${\displaystyle e^{i({\frac {\pi }{2}}+2\pi n)}=\cos({\frac {\pi }{2}}+2\pi n))+i\sin({\frac {\pi }{2}}+2\pi n))=0+1i=i}$

이 된다. 이제 양변에 i제곱을 취하면 지수법칙에 의해

${\displaystyle i^{i}=e^{i\cdot i({\frac {\pi }{2}}+2\pi n))}}$

이라고 할 수 있다.(복소수에서 지수법칙을 사용하기 위해서는 보다 엄밀한 논증을 거쳐야 하지만, 이곳에서는 그냥 넘어가기로 한다.)

정의에 의해 ${\displaystyle i\cdot i=-1}$이므로,

${\displaystyle i^{i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}-2\pi n}}$

을 얻는다.

여기에 주 분지인 ${\displaystyle n=0}$을 대입한다면, ${\displaystyle i^{i}}$의 수치적 값은 다음과 같이 계산된다.

${\displaystyle i^{i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}={\frac {1}{\sqrt {e^{\pi }}}}\approx 0.207879576...}$ (OEIS의 수열 A049006)

모든 가능한 분지에 대해, ${\displaystyle i^{i}}$의 값은 실수이며, 또한 초월수이다.

같이 보기

• 복소수