체바 직선

기하학에서 체바 선(영어: cevian (line))은 삼각형의 각 꼭짓점과 대변의 직선 위의 점을 잇는 선분이다.^{[1]:4, §1.2[2]:13, §1; 137, §12}

정의

삼각형의 한 꼭짓점과 대변의 직선 위의 점을 잇는 선분을 이 삼각형의 체바 선이라고 한다. 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 내접 삼각형 ${\displaystyle DEF}$가 주어졌다고 하자. 만약 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 체바 선 ${\displaystyle AD}$, ${\displaystyle BE}$, ${\displaystyle CF}$가 공점선을 이룬다면, 삼각형 ${\displaystyle DEF}$를 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 체바 삼각형(영어: Cevian triangle)이라고 한다. 점 ${\displaystyle P}$가 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 외접원 위의 점이 아니라고 하자. 만약 ${\displaystyle P}$의 수족 삼각형이 체바 삼각형이라면, 점 ${\displaystyle P}$를 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 수족-체바 점(영어: pedal-cevian point)이라고 한다.

성질

체바 정리와 메넬라오스 정리

 이 부분의 본문은 체바 정리 및 메넬라오스 정리입니다.

삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 각 꼭짓점 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$를 지나는 체바 선의 발을 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$라고 하자. 체바 정리에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle AD}$, ${\displaystyle BE}$, ${\displaystyle CF}$는 공점선이거나 평행선이다.
• ${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1}$

삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 각 꼭짓점 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$를 지나는 체바 선의 발을 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$라고 하자. 메넬라오스 정리에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$는 공선점이다.
• ${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EB}}=-1}$

이 두 정리에서 각 비율은 두 유향 선분의 방향이 같을 경우 양의 부호를, 방향이 반대일 경우 음의 부호를 가지며, 절댓값은 두 유향 선분의 길이의 비율과 같다. 체바 정리의 조건을 만족시키려면 삼각형의 변의 연장선 위의 점인 체바 선의 발의 수는 짝수이어야 하며, 메넬라오스 정리의 조건을 만족시키려면 이는 홀수이어야 한다.

부등식

삼각형의 ${\displaystyle ABC}$의 각 꼭짓점을 지나는 체바 선 ${\displaystyle AD}$, ${\displaystyle BE}$, ${\displaystyle CF}$가 삼각형 내부의 점 ${\displaystyle P}$를 지난다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 부등식들이 성립한다.

• ${\displaystyle {\frac {AP}{PD}}+{\frac {BP}{PE}}+{\frac {CP}{PF}}\geq 6}$
• ${\displaystyle {\frac {AP}{PD}}\cdot {\frac {BP}{PE}}\cdot {\frac {CP}{PF}}\geq 8}$
• ${\displaystyle {\frac {AD}{PD}}\cdot {\frac {BE}{PE}}\cdot {\frac {CF}{PF}}\geq 27}$
• ${\displaystyle {\frac {AD}{AP}}+{\frac {BE}{BP}}+{\frac {CF}{CP}}\geq {\frac {9}{2}}}$

체바 삼각형의 성질

삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 체바 삼각형 ${\displaystyle DEF}$의 각 꼭짓점을 원래 삼각형의 각 변의 중점에 대하여 반사하여 얻는 점을 ${\displaystyle D'}$, ${\displaystyle E'}$, ${\displaystyle F'}$이라고 하자. 그렇다면 삼각형 ${\displaystyle D'E'F'}$ 역시 원래 삼각형의 체바 삼각형이다.^{[2]:141, §12.3, Theorem 1} 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 체바 삼각형 ${\displaystyle DEF}$의 외접원과 원래 삼각형의 각 변의 직선의 (중복도를 감안한) 총 6개의 교점 가운데 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$가 아닌 것들을 ${\displaystyle D''}$, ${\displaystyle E''}$, ${\displaystyle F''}$이라고 하자. 그렇다면 삼각형 ${\displaystyle D''E''F''}$ 역시 원래 삼각형의 체바 삼각형이다.^{[2]:141, §12.3, Theorem 2} 삼각형의 수족-체바 점의 등각 켤레점은 같은 삼각형의 수족-체바 점이다.^{[2]:143, §12.3, Theorem 3} 삼각형의 수족-체바 점에 외심에 대한 반사를 가하여 얻는 점은 같은 삼각형의 수족-체바 점이다.^{[2]:143, §12.3, Theorem 4}

예

중선

외심의 수족 삼각형은 중점 삼각형이다. 이에 대한 원래 삼각형의 체바 선은 중선이며, 이들은 무게 중심에서 만난다. 따라서, 중점 삼각형은 체바 삼각형이며, 외심은 무게 중심에 대한 수족-체바 점이다.^{[2]:142, §12.3}

높이

수심의 수족 삼각형은 수심 삼각형이다. 이에 대한 원래 삼각형의 체바 선은 높이이며, 이들은 수심에서 만난다. 따라서, 수심 삼각형은 체바 삼각형이며, 수심은 스스로에 대한 수족-체바 점이다.^{[2]:142, §12.3}

제르곤 점을 지나는 체바 선

내심의 수족 삼각형은 제르곤 삼각형이다. 이에 대한 원래 삼각형의 체바 선은 제르곤 점에서 만난다. 따라서, 제르곤 삼각형은 체바 삼각형이며, 내심은 제르곤 점에 대한 수족-체바 점이다.^{[2]:142, §12.3}

역사

이탈리아의 수학자 조반니 체바의 이름을 땄다.

각주

1. Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967). 《Geometry Revisited》 (영어). Buehler, George H. 삽화. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-619-0. 
2. Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (영어) 37. Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5. 

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Cevian”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Cevian triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Cevian circle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Cevian point”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Pedal-Cevian point”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.