제곱 유군

체론에서 제곱 유군(-類群, 영어: square class group)은 제곱수의 곱셈에 대한 합동류들로 구성된 아벨 군이다.

정의

체 ${\displaystyle K}$의 제곱 유군은 다음과 같은 몫군이다.

${\displaystyle K^{\times }/(K^{\times })^{2}}$

여기서 ${\displaystyle K^{\times }=K\setminus \{0\}}$는 ${\displaystyle K}$의 가역원군이다. 즉, 0이 아닌 ${\displaystyle K}$의 원소 가운데, 제곱수에 대한 합동류들의 아벨 군이다. 제곱 유군의 원소를 제곱류(-類, 영어: square class)라고 한다.

제곱 유군이 자명군인 (즉, 모든 원소가 하나 이상의 제곱근을 갖는) 체를 이차 폐체(二次閉體, 영어: quadratically closed field)라고 한다.

성질

체 ${\displaystyle K}$의 제곱 유군 ${\displaystyle K^{\times }/(K^{\times })^{2}}$은 정의에 따라 아벨 2-군이다. 즉, 모든 원소의 (군의 원소로서의) 차수가 2이다. 따라서, 만약 제곱 유군이 유한군이라면 그 크기는 2의 거듭제곱이다.

예

크기 1

복소수체를 비롯한 모든 대수적으로 닫힌 체는 이차 폐체이다. 즉, 제곱 유군이 자명군이다. 짝수 표수의 유한체 역시 이차 폐체이다.

크기 2

실수체의 제곱 유군은 2차 순환군이다.

${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }/(\mathbb {R} ^{\times })^{2}=\{[+1],[-1]\}}$

홀수 표수의 유한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$의 제곱 유군은 2차 순환군이다. 예를 들어 다음과 같다.

• ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}}$의 두 제곱류들은 {1}, {2}이다.
• ${\displaystyle \mathbb {F} _{5}}$의 두 제곱류들은 {1,4}, {2,3}이다.
• ${\displaystyle \mathbb {F} _{7}}$의 두 제곱류들은 {1,2,4}, {3,5,6}이다.
• ${\displaystyle \mathbb {F} _{9}=\mathbb {F} _{3}[t]/(t^{2}+1)}$의 두 제곱류들은 ${\displaystyle \{1,2\}}$, ${\displaystyle \{t,2t\}}$이다.

크기 4

홀수 소수 ${\displaystyle p}$에 대하여, ${\displaystyle p}$진수체 ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$의 제곱 유군의 크기는 4이다. 만약 ${\displaystyle n}$이 ${\displaystyle p}$-제곱잉여가 아닌 임의의 정수라면, 4개의 제곱류들의 대표원은 ${\displaystyle [1]}$, ${\displaystyle [p]}$, ${\displaystyle [n]}$, ${\displaystyle [np]}$이다.

크기 8

2진수체 ${\displaystyle \mathbb {Q} _{2}}$의 제곱 유군의 크기는 8이다.

무한 크기

유리수체 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$의 제곱 유군은 가산 무한 집합이다.

참고 문헌

• Lam, Tsit-Yuen (2005). 《Introduction to quadratic forms over fields》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023.