정칙 이차 미분

리만 곡면 이론에서, 정칙 이차 미분(正則二次微分, 영어: holomorphic quadratic differential)은 표준 선다발의 2차 텐서곱의 정칙 단면이다.^[1]

정의

리만 곡면 ${\displaystyle \Sigma }$ 위의 정칙 이차 미분은 그 표준 선다발의 2차 텐서곱의 정칙 단면이다. 즉, 정칙 이차 미분의 공간은 다음과 같은 층 코호몰로지이다.^[2]:§4

${\displaystyle \operatorname {H} ^{0}(\Sigma ,K_{\Sigma }^{\otimes 2})}$

여기서 ${\displaystyle K_{\Sigma }}$는 ${\displaystyle \Sigma }$의 표준 선다발이다. 즉, ${\displaystyle \Sigma }$의 국소 좌표를 ${\displaystyle z}$라고 하면, 정칙 이차 미분은 국소적으로

${\displaystyle f(z)\,\mathrm {d} z^{2}}$

의 꼴이다.

표준 좌표계

리만 곡면 ${\displaystyle \Sigma }$ 위의 정칙 이차 미분 ${\displaystyle q(z)=f(z)\;\mathrm {d} z^{2}}$가 주어졌다고 하고, 임의의 점 ${\displaystyle z_{0}\in \Sigma }$에 대하여 ${\displaystyle q|_{z_{0}}\neq 0}$이라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle z_{0}}$의 어떤 (충분히 작은) 근방 ${\displaystyle U\ni z_{0}}$에 다음과 같은 국소 좌표계를 정의할 수 있다.

${\displaystyle w\colon U\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle w\colon z_{1}\mapsto \int _{z_{0}}^{z_{1}}{\sqrt {q}}=\int _{z_{0}}^{z_{1}}{\sqrt {f(z)}}\,\mathrm {d} z}$

이를 ${\displaystyle q}$로부터 정의되는 표준 좌표계(瓢樽座標系, 영어: canonical coordinate)라고 한다.

또한, ${\displaystyle \{z\in \Sigma \colon q|_{z}\neq 0\}}$에서, 리만 계량

${\displaystyle |f(z)|\,\mathrm {d} z\,\mathrm {d} {\bar {z}}=|f(z)|\,\left(\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}\right)}$

를 정의할 수 있다 (${\displaystyle z=x+\mathrm {i} y}$). 이 리만 계량의 리만 곡률은 0이다.

수직엽과 수평엽

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 리만 곡면 ${\displaystyle \Sigma }$
• ${\displaystyle \Sigma }$의 한 점 ${\displaystyle z_{0}\in \Sigma }$
• ${\displaystyle \Sigma \setminus \{z_{0}\}}$ 위의 정칙 이차 미분 ${\displaystyle q}$. 또한, ${\displaystyle q}$가 ${\displaystyle z_{0}}$ 근처에서 ${\displaystyle k}$차 극을 갖는다고 하자. 즉, ${\displaystyle q}$는 ${\displaystyle z_{0}}$ 근처에서 다음과 같은 꼴을 갖는다.

  ${\displaystyle q(z)\sim {\frac {O(1)}{(z-z_{0})^{k}}}\mathrm {d} z^{2}}$

그렇다면, 만약 어떤 연속 미분 가능 곡선

${\displaystyle \gamma \colon (a,b)\to \Sigma }$

에 대하여 다음과 같은 두 조건을 생각하자.

㉠ ${\displaystyle \forall t\in (a,b)\colon q|_{\gamma (t)}\left({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\in \mathbb {R} ^{+}\subsetneq \mathbb {C} }$

㉡ ${\displaystyle \forall t\in (a,b)\colon q|_{\gamma (t)}\left({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\in \mathbb {R} ^{-}\subsetneq \mathbb {C} }$

이 두 조건은 매개 변수의 재정의 ${\displaystyle \gamma \mapsto \gamma \circ f}$에 대하여 (만약 ${\displaystyle \forall t\colon f'(t)\neq 0}$라면) 불변이다. 즉, 이들은 단순히 ${\displaystyle \Sigma }$의 부분 집합으로 취급할 수 있다. ㉠을 만족시키는 이러한 부분 집합들 가운데, 포함 관계에 대하여 극대 원소인 것을 ${\displaystyle q}$의 수평엽(水平葉, 영어: horizontal leaf)이라고 한다. 마찬가지로, ㉡을 만족시키는 이러한 부분 집합들 가운데, 포함 관계에 대하여 극대 원소인 것을 ${\displaystyle q}$의 수직엽(垂直葉, 영어: vertical leaf)이라고 한다.

성질

리만 곡면 ${\displaystyle \Sigma }$ 위의 정칙 이차 미분의 벡터 공간은 그 타이히뮐러 공간의 공변접공간과 표준적으로 동형이다.

리만 곡면 ${\displaystyle \Sigma }$ 위의 정칙 이차 미분 ${\displaystyle q}$의 수직엽들의 족은 리만 곡면 ${\displaystyle \{z\in \Sigma \colon q|_{z}\neq 0\}}$의 (실수) 여차원 1의 엽층을 이루며, ${\displaystyle q}$의 수평엽들의 족 역시 마찬가지다.

슈트레벨 미분

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 종수 ${\displaystyle g}$의 연결 콤팩트 리만 곡면 ${\displaystyle \Sigma }$ (${\displaystyle g\geq 0}$).
• ${\displaystyle \Sigma }$ 속의 유한 집합 ${\displaystyle \{z_{1},\dotsc ,z_{n}\}\subseteq \Sigma }$. 또한, ${\displaystyle \min\{0,2-2g\}<n}$이다. (즉, ${\displaystyle g=0}$일 때는 ${\displaystyle n\geq 3}$이며, ${\displaystyle g\geq 1}$일 때는 ${\displaystyle n\geq 1}$이다.)
• 각 ${\displaystyle z_{i}}$에 대하여, 양의 실수 ${\displaystyle t_{i}\in \mathbb {R} ^{+}}$.

그렇다면, 다음 조건들을 만족시키는 유일한 정칙 이차 미분

${\displaystyle q\in \Gamma (\Sigma \setminus \{z_{1},\dotsc ,z_{n}\},\operatorname {Sym} ^{2}K_{\Sigma })}$

이 존재하며, 이를 ${\displaystyle q}$의 슈트레벨 미분(Strebel微分, 영어: Strebel differential)이라고 한다.^{[2]:Theorem 4.2}

• ${\displaystyle q}$는 각 ${\displaystyle z_{i}}$ 근처에서, 국소적으로 다음과 같이 2차 극을 갖는다.

  ${\displaystyle q(z)={\frac {O(1)}{(z-z_{i})^{2}}}(\mathrm {d} z)^{2}}$

• ${\displaystyle q}$의 수평엽들 가운데, 콤팩트 공간이 아닌 것들의 합집합은 르베그 측도 0인 닫힌집합이다.
• ${\displaystyle q}$의 수평엽들 가운데, 콤팩트 공간인 것 ${\displaystyle \gamma \subseteq M}$은 항상 어떤 ${\displaystyle z_{i}\in \{z_{1},\dotsc ,z_{n}\}}$을 한 번 휘감는 폐곡선이며, 또한 다음 조건을 만족시킨다. (여기서, 제곱근의 분지는 이 적분이 양수가 되게 택한다.)

  ${\displaystyle t_{i}=\oint _{\gamma }{\sqrt {q}}}$

예

상수 정칙 이차 미분

${\displaystyle \mathrm {d} z^{2}}$의 수평엽(푸른 선)과 수직엽(붉은 선)

비콤팩트 리만 곡면인 복소평면 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 위의 상수 정칙 이차 적분

${\displaystyle q=\mathrm {d} z^{2}}$

을 생각하자. 이는 영점을 갖지 않는다.

이 경우, 수평엽의 조건은

${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{2}\in \mathbb {R} ^{+}\subsetneq \mathbb {C} }$

인 것이다. 즉, ${\displaystyle {\dot {\gamma }}\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}$이어야 한다. 이에 따라, 수평엽들은 다음과 같은 수평선들이다.

${\displaystyle \mathbb {R} +\mathrm {i} t\qquad (t\in \mathbb {R} )}$

마찬가지로, 수직엽의 조건은

${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{2}\in \mathbb {R} ^{-}\subsetneq \mathbb {C} }$

인 것이다. 즉, ${\displaystyle {\dot {\gamma }}\in \mathrm {i} \mathbb {R} \setminus \{0\}}$이어야 한다. 이에 따라, 수직엽들은 다음과 같은 수직선들이다.

${\displaystyle \mathrm {i} \mathbb {R} +t\qquad (t\in \mathbb {R} )}$

이들은 물론 각각 복소평면의 엽층을 이룬다.

보다 일반적으로, 임의의 리만 곡면 ${\displaystyle \Sigma }$ 및 임의의 ${\displaystyle z\in \Sigma }$ 및 임의의 정칙 이차 적분 ${\displaystyle q}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle q|_{z}\neq 0}$이라면, ${\displaystyle z}$의 충분히 작은 근방 ${\displaystyle U\ni z}$에서 ${\displaystyle q\upharpoonright U}$는 (표준 좌표계에서) 상수 정칙 이차 미분이 되며, 표준 좌표계에서 수평엽과 수직엽은 위와 같이 (복소구조로 정의되는 등각 계량에 대하여) 서로 직교한다.^{[2]:Proposition 4.1}

2차 극 근처의 정칙 이차 미분

${\displaystyle \mathrm {d} z^{2}/z^{2}}$의 수평엽(푸른 반직선)과 수직엽(붉은 원)

복소평면 위의 정칙 이차 미분

${\displaystyle q={\frac {\mathrm {d} z^{2}}{z^{2}}}}$

를 생각하자. 그렇다면, 수평엽의 조건은

${\displaystyle {\dot {\gamma }}(z)\in z\mathbb {R} }$

이므로, 수평엽은 원점에서 시작하는 반직선

${\displaystyle t\mapsto t\exp(\mathrm {i} \theta )\qquad (\theta \in \mathbb {R} )}$

이다. 마찬가지로, 수직엽의 조건은

${\displaystyle {\dot {\gamma }}(z)\in \mathrm {i} z\mathbb {R} }$

이므로, 수직엽은 원점을 중심으로 하는 원

${\displaystyle t\mapsto r\exp(\mathrm {i} t)\qquad (r\in \mathbb {R} ^{+})}$

의 꼴이다.

역사

슈트레벨 미분은 스위스의 수학자 쿠르트 슈트레벨(독일어: Kurt Strebel, 1921~2013)이 도입하였다.

각주

1. Strebel, Kurt (1984). 《Quadratic differentials》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (영어) 5. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-02414-0. ISSN 0071-1136. 
2. Mulase, Motohico; Penkava, Michael (1998). “Ribbon graphs, quadratic differentials on Riemann surfaces, and algebraic curves defined over ℚ̄”. 《The Asian Journal of Mathematics》 (영어) 2 (4): 875–920. arXiv:math-ph/9811024. Bibcode:1998math.ph..11024M. 

• Tynan, P. (2009). “Explicit examples of Strebel differentials” (영어). arXiv:0910.4752.