오퍼라드 대수

오퍼라드 이론에서 오퍼라드 대수(operad代數, 영어: operad algebra)는 어떤 오퍼라드가 나타내는 공리들을 만족시키는, 어떤 대칭 모노이드 범주 속의 구조이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 대칭 모노이드 범주 ${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,1)}$
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 속의 오퍼라드 ${\displaystyle P=(P(n))_{n\in \mathbb {N} }}$

그렇다면, ${\displaystyle P}$ 위의 대수는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 대상 ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$
• 각 자연수 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 대하여, 사상 ${\displaystyle P(n)\otimes X^{\otimes n}\to X}$

이는 ${\displaystyle P}$의 구조(항등 연산 · 변수 치환 · 연산 합성)와 적절한 호환 조건들을 만족시켜야 한다.

닫힌 대칭 모노이드 범주의 경우

닫힌 대칭 모노이드 범주 ${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,\hom )}$의 경우, 약간 다른 정의가 가능하다. 이 경우, 임의의 대상 ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$에 대하여, 자명한 오퍼라드 ${\displaystyle \operatorname {Op} (X)}$를 다음과 같이 정의할 수 있다.

• ${\displaystyle \operatorname {Op} (X)}$의 ${\displaystyle n}$항 연산은 내부 준동형사상 대상 ${\displaystyle \hom(X^{\otimes n},X)}$이다.
• 연산의 합성은 ${\displaystyle \otimes }$의 결합성으로부터 유도된다.

이 경우, ${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes )}$에 대한 오퍼라드 ${\displaystyle P}$ 위의 대수(영어: algebra over ${\displaystyle P}$) ${\displaystyle (X,\phi )}$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 대상이다.
• ${\displaystyle \phi }$는 오퍼라드 사상 ${\displaystyle P\to \operatorname {Op} (X)}$이다.

예

체 ${\displaystyle K}$ 위의 벡터 공간의 대칭 모노이드 범주 ${\displaystyle (\operatorname {Vect} _{K},\otimes ,K)}$를 생각하자. 그 속의 오퍼라드 ${\displaystyle \operatorname {Ass} }$ 위의 대수는 ${\displaystyle K}$-결합 대수이다.

마찬가지로, A∞-대수는 A∞-오퍼라드 위의 대수이다.

같이 보기

• L∞-대수

외부 링크

• “Algebra over an operad”. 《nLab》 (영어). 
• “Category over an operad”. 《nLab》 (영어).