L∞-대수

수학에서 L_∞-대수(L_∞-algebra) 또는 호모토피 리 대수(영어: homotopy Lie algebra)는 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 등급을 갖는 대수이다.^[1][2][3] 리 대수의 개념에서, 야코비 항등식이 오직 호모토피에 대하여 성립하도록 약화시킨 것이다.

정의

괄호를 통한 정의

표수 0의 체 ${\displaystyle K}$가 주어졌다고 하자. ${\displaystyle K}$ 위의 초벡터 공간 ${\displaystyle V=V_{+}\oplus V_{-}}$이 주어졌을 때, 다음을 정의하자.

${\displaystyle \bigwedge V={\frac {\operatorname {T} (V)}{\mathfrak {I}}}}$

여기서 ${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$는 텐서 대수 ${\displaystyle \operatorname {T} (V)}$의, 다음 부분 집합으로 생성되는 아이디얼이다.

${\displaystyle {\mathfrak {I}}=\left(v_{1}\otimes v_{2}\otimes \dotsb \otimes v_{n}-(-)^{\sigma }(-)^{\sigma ,{\vec {v}}}v_{\sigma (1)}\otimes v_{\sigma (2)}\otimes \dotsb \otimes v_{\sigma (n)}\colon \sigma \in \operatorname {Sym} (n),\;v_{1},\dotsc ,v_{n}\in V_{+}\cup V_{-}\right)}$

여기서

• ${\displaystyle (-)^{\sigma }\in \{\pm 1\}}$는 순열의 부호수, 즉 군 준동형 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (n)\to \operatorname {Sym} (2)}$에 대한 상이다.
• ${\displaystyle (-)^{\sigma ,{\vec {v}}}\in \{\pm 1\}}$는 ${\displaystyle \sigma }$가 ${\displaystyle (v_{1},\dotsc ,v_{n})}$에 작용할 때, ${\displaystyle V_{-}}$에 속하는 두 원소를 교환할 때의 수가 짝수인 경우 ${\displaystyle +1}$, 홀수일 경우 ${\displaystyle -1}$이다.

물론 ${\displaystyle \textstyle \bigwedge V}$는 자연수 등급을 갖는다.

${\displaystyle K}$ 위의 L_∞-대수 ${\displaystyle A}$는 다음과 같은 일련의 연산이 주어진, ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-등급 벡터 공간

${\displaystyle A=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }A^{i}}$

이다.

• 각 ${\displaystyle n\geq 1}$에 대하여, 등급 반대칭 ${\displaystyle n}$항 연산 ${\displaystyle [-,-,\dotsc ,-]\colon \textstyle \bigwedge ^{n}V\to K}$. 그 등급은 ${\displaystyle n-2}$이다. (즉, 2항 괄호의 등급이 0이며, 1항 괄호는 등급 −1의 미분을 이룬다.)

  ${\displaystyle \deg[a_{1},\dotsc ,a_{n}]_{n}=n-2+\sum _{i=1}^{n}\deg a_{i}}$

이는 다음과 같은 야코비 항등식을 만족시켜야 한다.

${\displaystyle 0=\sum _{i+j=n+1}\sum _{\sigma \in \operatorname {Sh} (i,n-i)}e(\sigma )(-1)^{\sigma +i(j-1)}[[a_{\sigma (1)},\dots ,a_{\sigma (i)}]_{i},a_{\sigma (i+1)},\dots ,a_{\sigma (n)}]_{j}}$

여기서

• ${\displaystyle \operatorname {Sh} (i,n-i)}$는 ${\displaystyle (i,n-i)}$-셔플 순열의 집합이다.
• ${\displaystyle e(\sigma )}$는 순열 ${\displaystyle \sigma }$가 홀수 등급을 갖는 원소쌍을 서로 짝수 번 뒤바꾸었을 때 ${\displaystyle +1}$, 홀수 번 뒤바꾸었을 때 ${\displaystyle -1}$이다. 이를 코쥘 부호(영어: Koszul sign)라고 한다.

미분 등급 대수를 통한 정의

만약 각 등급별 차원이 유한하다면, L_∞-대수는 다음과 같이 정의될 수도 있다.

표수 0의 체 ${\displaystyle K}$ 위의 위의 호모토피 리 대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• ${\displaystyle K}$ 위의 양의 정수 등급 벡터 공간 ${\displaystyle A=\textstyle \bigoplus _{i\in \mathbb {Z} ^{+}}A_{i}}$. 이로부터 다음을 정의할 수 있다.
  • ${\displaystyle A^{*}}$는 ${\displaystyle A}$의 대수적 쌍대 공간이다.
  • ${\displaystyle \operatorname {Sym} (A^{*})}$은 등급 벡터 공간 ${\displaystyle A^{*}}$ 위의 대칭 대수이며, 이는 자연수 등급 대수를 이룬다.
• ${\displaystyle \mathrm {d} \colon \operatorname {Sym} (V^{*})\to \operatorname {Sym} (V^{*})}$는 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (V^{*})}$ 위의, 등급 +1의 연속 미분이다. 즉, 다음 조건들을 만족시킨다.
  • ${\displaystyle \mathrm {d} }$는 ${\displaystyle K}$-선형 변환이다.
  • ${\displaystyle \mathrm {d} \circ \mathrm {d} =0}$
  • ${\displaystyle \mathrm {d} (ab)=(\mathrm {d} a)b+(-)^{\deg a}a\mathrm {d} b}$이다. 여기서 ${\displaystyle a}$는 동차 성분이다.
  • ${\displaystyle \deg(\mathrm {d} a)=1+\deg a}$. 여기서 ${\displaystyle a}$는 동차 성분이다.

이는 다음 조건을 추가로 만족시켜야 한다.

• 표준 사영 ${\displaystyle (\operatorname {Sym} (V^{*}),\mathrm {d} )\to (K,0)}$는 미분 등급 대수의 준동형이다.

(만약 이 조건을 생략한다면, 굽은 L_∞-대수영어: curved L_∞-algebra의 개념을 얻는다.)

두 정의 사이의 관계

이 두 정의 사이의 관계는 다음과 같다. 우선, 괄호 ${\displaystyle [-,-,\dotsc ,-]_{\bullet }}$를 통한 정의에서, ${\displaystyle A}$의 임의의 기저

${\displaystyle A=\operatorname {Span} _{K}\{t_{i}\}_{i\in I}}$

를 잡자. 그 쌍대 기저는

${\displaystyle A^{*}=\operatorname {Span} _{K}\{t^{i}\}_{i\in I}}$

이며, 또한

${\displaystyle \deg t^{i}=\deg t_{i}+1}$

로 놓자. 그렇다면,

${\displaystyle \mathrm {d} \colon t^{i}\mapsto -\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}t^{i}([t_{i_{1}},\dotsc ,t_{i_{n}}]_{n})t^{i_{1}}t^{i_{2}}\dotsm t^{i_{n}}}$

이다. 이 경우, 멱영 조건

${\displaystyle \mathrm {d} ^{2}=0}$

을 전개하고 등급별로 분해하면, 괄호에 대한 조건들과 동치임을 알 수 있다.

예

미분 등급 리 대수

 이 부분의 본문은 미분 등급 리 대수입니다.

L_∞-대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$에서, 만약 오직 2항 이하 괄호만이 0이 아닌 경우, 이는 미분 등급 리 대수를 이룬다. 즉, 이 경우

${\displaystyle [a]_{1}=\mathrm {d} a}$

${\displaystyle [a,b]_{2}=[a,b]}$

${\displaystyle [a,b,\dotsc ,]_{k}=0\qquad (k\geq 3)}$

로 놓으면, ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},\mathrm {d} ,[-,-])}$가 만족시켜야 하는 항등식들은 미분 등급 리 대수의 정의와 일치한다. 즉, 3항 이상의 괄호들이 모두 0이라면, 2항 괄호의 야코비 항등식이 정확히 성립한다.

특히, 만약 추가로 ${\displaystyle [-]_{1}=\mathrm {d} =0}$일 경우, 이는 등급 리 초대수를 이루며, 만약 모든 등급이 짝수라면 이는 등급 리 대수를 이룬다.

리 ${\displaystyle n}$-대수

L_∞-대수에서, 모든 생성원의 등급이 ${\displaystyle \{0,1,\dotsc ,n\}}$에 속하는 경우를 리 ${\displaystyle n}$-대수라고 한다. 이 경우,

${\displaystyle n\geq \deg[a_{1},\dotsc ,a_{k}]_{k}\geq k-2}$

이므로,

${\displaystyle [-,\dotsc ,-]_{k}=0\qquad (k>n+2)}$

이다.

예를 들어, ${\displaystyle n=1}$일 경우, 오직 1항 · 2항 · 3항 연산만이 자명하지 않다.

특히, ${\displaystyle n=0}$인 경우, 1항 연산 또한 등급에 의하여 0이 되므로, 이 개념은 리 대수의 개념과 동치이다.

거스틴해버 대수

 이 부분의 본문은 거스틴해버 대수입니다.

모든 거스틴해버 대수는 L_∞-대수를 이룬다.

같이 보기

• A∞-대수
• 미분 등급 대수
• 바탈린-빌코비스키 대수
• 단체 리 대수
• 호흐실트 호몰로지

각주

1. Lada, Tom; Jim Stasheff. “Introduction to sh Lie algebras for physicists”. 《International Journal of Theoretical Physics》 (영어) 32 (7): 1087–1103. arXiv:hep-th/9209099. Bibcode:1993IJTP...32.1087L. doi:10.1007/BF00671791. ISSN 0020-7748.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
2. Lada, Tom (1994년 6월 15일). “Strongly homotopy Lie algebras” (영어). arXiv:hep-th/9406095. Bibcode:1994hep.th....6095L.  지원되지 않는 변수 무시됨: |성-2= (도움말); 지원되지 않는 변수 무시됨: |이름-2= (도움말)
3. Bering, Klaus; Tom Lada (2009년 9월 17일). “Examples of Homotopy Lie Algebras” (영어). arXiv:0903.5433.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)

외부 링크

• “L-infinity-algebra”. 《nLab》 (영어). 
• “Super L-infinity algebra”. 《nLab》 (영어).