예각삼각형

예각삼각형

기하학에서 예각삼각형(銳角三角形)은 세 각의 크기가 모두 90도보다 작은 각을 갖는 삼각형이다.

넓이

두 변과 끼인각의 크기를 알 때 ,

세 변의 길이가 각각 a, b, c이고, 세 각의 크기가 각각 A, B, C인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.

${\displaystyle S={1 \over {2}}{bc\sin A}={1 \over {2}}{ca\sin B}={1 \over {2}}{ab\sin C}}$

공식 유도

따라서, 밑변${\displaystyle b}$ 높이${\displaystyle h}$를 갖는 삼각형에서 삼각형의 넓이 공식 ${\displaystyle S={1 \over 2}b\cdot h}$를 예약하고,[1] 선분 ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ 와 선분 ${\displaystyle {\overline {AC}}}$의 사잇각(끼인각)을 ${\displaystyle sinA}$ 라고 했을때, ${\displaystyle sinA={{\text{높 이 }} \over {\text{빗 변 }}}={{h} \over {\overline {AB}}}={{h} \over {c}}}$ 따라서, ${\displaystyle sinA={{h} \over {c}}}$ ${\displaystyle sinA\cdot {c}={h}}$ ${\displaystyle S={1 \over {2}}{b}sinAc}$ ${\displaystyle S={1 \over {2}}{b}csinA}$

삼각함수의 덧셈정리

삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 넓이 ${\displaystyle \triangle ABC}$는,

${\displaystyle \triangle ABC=\triangle AHB+\triangle AHC}$

${\displaystyle \triangle ABC={1 \over {2}}{b}c\sin(\alpha +\beta )}$

${\displaystyle \triangle AHB+\triangle AHC}$

${\displaystyle ={1 \over {2}}\;{\overline {BH}}\;{\overline {AH}}+{1 \over {2}}\;{\overline {CH}}\;{\overline {AH}}}$

${\displaystyle ={1 \over {2}}c\sin \alpha \;b\cos \beta +{1 \over {2}}b\sin \beta \;c\cos \alpha }$

${\displaystyle ={1 \over {2}}cb(\sin \alpha \;\cos \beta +\sin \beta \;\cos \alpha )}$

따라서,

${\displaystyle {1 \over {2}}{b}c\sin(\alpha +\beta )={1 \over {2}}cb(\sin \alpha \;\cos \beta +\sin \beta \;\cos \alpha )}$

${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=(\sin \alpha \;\cos \beta +\sin \beta \;\cos \alpha )}$

코사인법칙

이것을 ${\displaystyle cosine}$에 대해 나타내보면,

${\displaystyle {\overline {BC}}={\overline {BH}}+{\overline {HC}}}$

${\displaystyle cosB={{\overline {BH}} \over {c}}}$

${\displaystyle cosBc={\overline {BH}}}$

${\displaystyle cosC={{\overline {HC}} \over {b}}}$

${\displaystyle cosCb={\overline {HC}}}$

따라서,

${\displaystyle {\overline {BC}}={\overline {BH}}+{\overline {HC}}}$

${\displaystyle a=cosBc+cosCb}$

이것은, 코사인법칙의 제1코사인법칙이다.

${\displaystyle a=b\cos C+c\cos B,b=c\cos A+a\cos C,c=a\cos B+b\cos A}$

같이 보기

• 삼각형
• 둔각삼각형
• 직각삼각형
• 삼각함수
• 삼각함수의 덧셈정리

각주

1. (유클리드 기하학 원론 2권 법칙13 )http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc (구텐베르크 프로젝트,John Casey)