연관 다발

위상수학에서 연관 다발(聯關-, 영어: associated bundle)은 위상군의 작용을 갖는 위상 공간 및 같은 위상군에 대한 주다발로부터 구성되는, 전자를 올로 갖는 올다발이다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 위상 공간 ${\displaystyle X}$
• 위상군 ${\displaystyle G}$
• ${\displaystyle G}$-주다발 ${\displaystyle \pi \colon P\to X}$
• 위상 공간 ${\displaystyle F}$
• ${\displaystyle G}$의, 위상 공간 ${\displaystyle F}$ 위의 연속 왼쪽 작용 ${\displaystyle \rho \colon G\times F\to F}$

그렇다면, 다음과 같은 위상 공간을 생각하자.

${\displaystyle E=P\times _{G}F={\frac {P\times F}{(p,g\cdot f)\sim (p\cdot g,f)}}}$

이는 사영 함수

${\displaystyle \pi \colon [(p,v)]\mapsto p}$

를 통해, 올이 ${\displaystyle F}$인, ${\displaystyle X}$ 위의 올다발을 이룬다. 이를 연관 다발이라고 한다.

연관 벡터 다발

특히, ${\displaystyle F}$가 유한 차원 실수 벡터 공간이며, ${\displaystyle \rho \colon G\to \operatorname {GL} (V;\mathbb {R} )}$가 ${\displaystyle G}$의 연속 유한 차원 실수 표현이라고 하자. 그렇다면, 연관 다발 ${\displaystyle E}$ 위에는 ${\displaystyle V}$로부터 오는, 표준적인 ${\displaystyle B}$ 위의 벡터 다발 구조가 존재한다. 즉, 각 올 ${\displaystyle E_{x}}$ 위에는 벡터 공간 구조

${\displaystyle t[(p,v)]=[(p,tv)]\qquad (p\in P,\;v\in V,\;t\in \mathbb {R} )}$

${\displaystyle [(p,v)]+[(p\cdot g^{-1},v')]=[(p,v+\rho (g)v')]\qquad (p\in P,\;v,v'\in V,\;g\in G)}$

가 주어진다. 이를 ${\displaystyle (X,G,P,V,\pi ,\rho )}$의 연관 벡터 다발(영어: associated vector bundle)이라고 한다.

예

${\displaystyle G=\{\pm 1\}}$가 2차 순환군이며,

${\displaystyle X=\mathbb {S} ^{1}={\frac {\mathbb {R} }{t\sim t+1\;\forall t\in \mathbb {R} }}}$

가 원이라고 하자. 그렇다면, 원의 2겹 피복 공간

${\displaystyle \pi \colon \mathbb {S} ^{1}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{1}}$

${\displaystyle \pi \colon [t]\mapsto [2t]}$

은 자연스럽게 ${\displaystyle G}$-주다발을 이룬다. 즉, 그 위의 ${\displaystyle G}$-작용은 다음과 같다.

${\displaystyle g\colon [t]\mapsto \left[t+{\frac {1-g}{2}}\right]\qquad (g\in \{\pm 1\})}$

${\displaystyle G}$는 자연스러운 1차원 실수 표현

${\displaystyle g\cdot a=ga\qquad (g\in \{\pm 1\},\;a\in \mathbb {R} )}$

을 가지며, 이에 대한 연관 벡터 다발은 (원 위의 1차원 벡터 다발로 여긴) 뫼비우스의 띠이다.

외부 링크

• “Associated bundle”. 《nLab》 (영어).