스틸티어스 변환

수학에서, 스틸티어스 변환(영어: Stieltjes transform)은 모멘트들을 로랑 급수의 계수로 갖는 적분 변환이다.

정의

실수 구간 ${\displaystyle I}$ 위에 정의된 함수 ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$의 스틸티어스 변환은 다음과 같다.

${\displaystyle S_{f}\colon \mathbb {C} \setminus \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle S_{f}(z)=\int _{I}{\frac {f(t)\,dt}{z-t}}}$

만약 ${\displaystyle f}$가 연속 함수라면, 다음과 같이 역 스틸티어스 변환으로 원래 함수를 되찾을 수 있다.

${\displaystyle f(t)=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}{\frac {S_{f}(t-i\epsilon )-S_{f}(t+i\epsilon )}{2i\pi }}}$

이는 유수 정리를 사용하여 쉽게 보일 수 있다.

응용

일부 경우, 스틸티어스 변환의 로랑 급수는 ${\displaystyle f}$의 모멘트들을 계수로 갖는다.

${\displaystyle m_{n}=\int _{I}t^{n}f(t)\,dt}$

${\displaystyle S_{f}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {m_{n}}{z^{n+1}}}}$

이는

${\displaystyle S_{f}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {m_{n}}{z^{n+1}}}=\int _{I}dt\,f(t)\sum _{n=0}^{\infty }t^{n}/z^{n+1}=\int _{I}dt\,{\frac {f(t)}{z-t}}}$

이기 때문이다.

외부 링크

• “Stieltjes transform”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.