수족 삼각형

수족 삼각형

심슨 직선

기하학에서 수족 삼각형(垂足三角形, 영어: pedal triangle)은 주어진 점에서 삼각형의 세 변에 내린 수선의 발들로 이루어진 삼각형이다.

정의

점 ${\displaystyle P}$에서 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 세 변 ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$, ${\displaystyle AB}$에 내린 수선의 발을 각각 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$라고 하자. 만약 ${\displaystyle P}$가 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 외접원 위의 점이라면, ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$는 한 직선 위의 점이며, 이 직선을 삼각형 ${\displaystyle ABC}$에 대한 점 ${\displaystyle P}$의 심슨 직선이라고 한다. 만약 ${\displaystyle P}$가 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 외접원 위의 점이 아니라면, ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$는 한 직선 위의 점이 아니며, 이 경우 삼각형 ${\displaystyle DEF}$를 점 ${\displaystyle P}$에 대한 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 수족 삼각형이라고 한다.

성질

점 ${\displaystyle P}$에서 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 세 변 ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$, ${\displaystyle AB}$에 내린 수선의 발을 각각 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$라고 하고, 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 세 변의 길이를 각각 ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, 외접원의 반지름을 ${\displaystyle R}$라고 하자. 그렇다면 사인 법칙에 따라 수족 삼각형 ${\displaystyle DEF}$의 세 변의 길이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.^{[1]:23, §1.9, Theorem 1.91}

${\displaystyle EF=AP\cdot \sin A={\frac {AP\cdot a}{2R}}}$

${\displaystyle FD=BP\cdot \sin B={\frac {BP\cdot b}{2R}}}$

${\displaystyle DE=CP\cdot \sin C={\frac {CP\cdot c}{2R}}}$

점 ${\displaystyle P}$에서 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 세 변 ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$, ${\displaystyle AB}$에 내린 수선의 발을 각각 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$라고 하자. 그렇다면 수족 삼각형의 세 꼭짓점 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$가 원래 삼각형의 변을 나누는 길이는 다음 등식을 만족시킨다.^[2]:85–86

${\displaystyle AF^{2}+BD^{2}+CE^{2}=FB^{2}+DC^{2}+EA^{2}}$

등각 켤레점을 이루는 두 점에 대한 수족 삼각형의 외접원은 일치하며, 그 공통 외접원의 중심은 두 등각 켤레점의 중점이다.^{[3]:67, §7.4, (viii)}

같은 점에 대한 수족 삼각형의 수족 삼각형의 수족 삼각형은 원래 삼각형과 닮음이다. 즉, 점 ${\displaystyle P}$에 대한 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 수족 삼각형을 ${\displaystyle D_{1}E_{1}F_{1}}$라고 하고, 같은 점 ${\displaystyle P}$에 대한 삼각형 ${\displaystyle D_{1}E_{1}F_{1}}$의 수족 삼각형을 ${\displaystyle D_{2}E_{2}F_{2}}$라고 하고, 같은 점 ${\displaystyle P}$에 대한 삼각형 ${\displaystyle D_{2}E_{2}F_{2}}$의 수족 삼각형을 ${\displaystyle D_{3}E_{3}F_{3}}$라고 하자. 그렇다면 삼각형 ${\displaystyle D_{3}E_{3}F_{3}}$은 원래 삼각형 ${\displaystyle ABC}$와 닮음이다.^{[1]:24, §1.9, Theorem 1.92} 보다 일반적으로, ${\displaystyle n}$각형이 주어졌을 때, 같은 점에 대한 ${\displaystyle n}$번째 수족 ${\displaystyle n}$각형은 원래 ${\displaystyle n}$각형과 닮음이다.^[4]

증명:

마주보는 두 각이 직각인 사각형의 네 꼭짓점은 한 원 위의 점이므로, 원주각의 성질에 따라

${\displaystyle \angle PAC=\angle PF_{1}E_{1}=\angle PE_{2}D_{2}=\angle PD_{3}F_{3}}$

${\displaystyle \angle PAB=\angle PE_{1}F_{1}=\angle PF_{2}D_{2}=\angle PD_{3}E_{3}}$

이다. 따라서 ${\displaystyle \angle BAC=\angle E_{3}D_{3}F_{3}}$이다. 마찬가지로 ${\displaystyle \angle ABC=\angle D_{3}E_{3}F_{3}}$임을 보일 수 있다. 따라서 삼각형 ${\displaystyle ABC}$와 삼각형 ${\displaystyle D_{3}E_{3}F_{3}}$은 닮음이다.

반수족 삼각형

삼각형 ${\displaystyle ABC}$ 및 점 ${\displaystyle P}$가 주어졌다고 하자. 꼭짓점 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$를 지나는, 직선 ${\displaystyle PA}$, ${\displaystyle PB}$, ${\displaystyle PC}$의 평행선의 세 교점을 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Z}$라고 하자. 만약 점 ${\displaystyle P}$가 직선 ${\displaystyle BC}$ 또는 ${\displaystyle CA}$ 또는 ${\displaystyle AB}$ 위의 점이라면, 세 직선 가운데 한 쌍은 평행하며 세 교점 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Z}$ 가운데 하나는 무한 원점이다. 만약 점 ${\displaystyle P}$가 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 외접원 위의 점이라면, 세 직선은 한 점 ${\displaystyle X=Y=Z}$에서 만난다.^{[5]:225, §XII.360} 만약 점 ${\displaystyle P}$가 직선 ${\displaystyle BC}$ 또는 ${\displaystyle CA}$ 또는 ${\displaystyle AB}$ 위의 점이 아니며 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 외접원 위의 점이 아니라면, 세 교점 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Z}$는 삼각형의 꼭짓점을 이루며, 이 경우 삼각형 ${\displaystyle XYZ}$를 점 ${\displaystyle P}$에 대한 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 반수족 삼각형(反垂足三角形, 영어: antipedal triangle)이라고 한다. 이 경우 반수족 삼각형은 원래 삼각형을 수족 삼각형으로 하는 유일한 삼각형이다.

주어진 점에 대한 반수족 삼각형은 그 등각 켤레점에 대한 수족 삼각형과 중심 닮음이다.^{[5]:225, §XII.360}

예

일부 특수한 점에 대한 수족 삼각형 또는 반수족 삼각형은 다음과 같다.

• 내심에 대한 수족 삼각형은 제르곤 삼각형이다.
• 외심에 대한 수족 삼각형은 중점 삼각형이다.
• 수심에 대한 수족 삼각형은 수심 삼각형이다.
• 내심에 대한 반수족 삼각형은 방심 삼각형이다.

각주

1. Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967). 《Geometry Revisited》 (영어). Buehler, George H. 삽화. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-619-0. 
2. Posamentier, Alfred S.; Salkind, Charles T. (1996). 《Challenging Problems in Geometry》 (영어) 2판. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-69154-3. LCCN 95052535. 
3. Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (영어) 37. Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5. 
4. Stewart, B. M. (1940). “Cyclic Properties of Miquel Polygons”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 47 (7): 462–466. doi:10.2307/2303956. ISSN 0002-9890. JSTOR 2303956. 
5. Johnson, Roger A. (1960) [1929]. 《Advanced Euclidean Geometry》 (영어). New York, N. Y.: Dover Publications. 

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Pedal triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Pedal circle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Antipedal triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Bogomolny, Alexander. “Pedal triangle and isogonal conjugacy”. 《Cut the Knot》 (영어).