수리 논리학

수리 논리학
학문명	수리논리학

수리논리학(數理論理學, 영어: mathematical logic) 또는 기호논리학은 논리학에서 사용하는 명제들을 수학적인 기호로 표시하는 학문이다. 고틀로프 프레게, 버트런드 러셀, 폴 조지프 코언 등이 개척한 분야로서 일상 언어와 같은 자연언어의 사용에서 올수있는 복잡성과 오류의 용이성을 제거하고 명제를 효과적으로 쉽게 다룰 수 있도록 하기 위해 도입한 현대 논리학 이론으로서, 기호를 많이 사용하여 '기호 논리학'(symbolic logic)이라고도 한다. 컴퓨터 과학 및 철학논리와 밀접하게 연관되어 있다.^[1][2]

이 분야는 논리학 및 형식논리의 타 분야로의 응용에 관한 수학적 연구를 포함하고 있으며, 통합적으로는 형식 체계의 표현력과 형식 증명 체계의 연역 가능성에 관한 연구를 포함한다.^[3][4][5]

수리논리학은 종종 집합론, 모형 이론, 재귀 이론, 증명 이론, 구성적 수학 등의 하위 분야로 나뉜다. 이 분야들은 공통적으로 1차 논리와 정의가능성 등의 기본적인 논리학적 결과들을 바탕으로 하고 있다.

수리논리학은 처음 출현한 이후 줄곧 수학기초론의 연구와 영향을 주고 받았다. 이 연구는 19세기 말 기하학, 대수학, 해석학의 공리적 구조의 개발과 함께 시작되었다. 20세기 초에는 수학기초론의 무모순성을 증명하려는 다비트 힐베르트의 연구에 의해 다듬어졌다. 쿠르트 괴델과 게르하르트 겐첸 등은 그 연구에 일부 해결 방법을 제시하였고 무모순성 증명과 관련한 문제들을 명확히 하였다. 비록 몇몇 정리들이 집합 이론의 공리 체계에서 증명 불가능하지만, 집합 이론에서의 연구는 거의 모든 일반적인 수학은 집합의 형태로 형식화할 수 있다는 것을 보여주었다. 수학기초론에서 최근의 연구는 종종 모든 수학을 전개할 수 있는 이론을 찾기보다는 수학의 어느 부분이 특정 형식 체계에서 형식화할 수 있는지 찾는 데 중점을 두고 있다.

기호의 예

언어	기호
그리고	${\displaystyle \cdot ,\land }$
또는	${\displaystyle \lor }$
만일 A 이면 B 이다	${\displaystyle A\subset B,A\to B}$
아니다	${\displaystyle -,\neg }$

추론 형식

형식	구조	추론
F1	전가언 3단논법(3명제 모두가 가언 명제)	간접추론
F2	혼합가언 전건긍정 3단논법(대전제 가언 ·소전제 정언 명제)	간접추론
F3	혼합가언 후건부정 3단논법(대전제 가언·소전제 정언)	간접추론
F4	혼합선언 부정3단논법(대전제 선언 명제·소전제 정언)	간접추론
F5	드 모르간의 법칙 ${\displaystyle \neg (P\lor Q)=\neg P\land \neg Q}$ ${\displaystyle \neg (P\land Q)=\neg P\lor \neg Q}$	직접추론
F6	연언 명제	직접추론
F7	연언 명제의 분리(Conjunction Elimination)	직접추론
F8	이중부정	직접추론

고전 논리학과 기호 논리학의 비교

명제	고전 논리학	기호논리학의 기호화	기호논리학의 근거제시
전제 1	만약 A가 B라면 C가 아니거나 D이다.	${\displaystyle (A\subset B)\subset (-C\lor D)}$	(-C)
전제 2	A는 E이거나 또는 C이다.	${\displaystyle A\subset (E\lor C)}$	(E)
전제 3	A는 B이다.	${\displaystyle A\subset B}$
전제 4	A는 D가 아니다.	${\displaystyle A\subset -D}$
결론1	A는 C가 아니다.	${\displaystyle A\subset -C}$	전제1,전제4, F3
결론2	A는 E이다.	${\displaystyle A\subset E}$	전제2,결론1, F3

기호논리학은 복잡한 자연언어의 문장들로 구성된 추론들로부터 기호화된 추론 형식을 적용함으로써 타당성 검증이 가능하게 한다.

같이 보기

• 수학 원리
• 프레게
• 버트런드 러셀
• 화이트헤드
• 1차논리
• 술어논리
• 직관논리

각주

1. 안동환. 美 수리논리학 개척자 코헨 사망. 서울신문. 2007년 4월 3일.
2. 이성주. '시리'가 아직까지 말귀를 못 알아듣는 까닭. 블로터. 2015년 5월 14일.
3. 오정연. '벤 다이어그램'의 창시자 수학자 존 벤 탄생 180주년. 대전일보. 2014년 8월 5일.
4. 김대수. (김대수의 수학 어드벤처)디지털의 출발점은 논리학자 아리스토텔레스. 중앙SUNDAY. 2014년 11월 9일.
5. 김대수. (김대수의 수학 어드벤처)19세기에 디지털 시대 터 닦은 불멸의 수학자들. 중앙SUNDAY. 2015년 3월 1일.

참고 문헌

• 林禎垈 (1982년 11월). 《數理論理學》. 연세대학교 출판부. ISBN 89-7141-226-7. 2015년 4월 24일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 11월 24일에 확인함. 
• Kleene, S. C. (1997). 《數理論理學》. 朴漢植 역. 교학연구사. ISBN 978-89-3540174-1. 
  • Kleene, S. C. (1967). 《Mathematical logic》 (영어). Wiley. Zbl 0149.24309. 
• 鄭祚燮 (1993). 《經濟分析과 數理論理學》. 경제 과학 시리즈 1. 중앙대학교 출판부. 
• 尹英洙 (1981). 《數理論理學》. 형설출판사. 
• 손병홍 (2008). 《논리학: 명제논리와 술어논리》. 장서원. ISBN 978-89-9127359-7. 
• Enderton, Herbert B. (2002). 《A mathematical introduction to logic》 (영어) 2판. Academic Press. doi:10.1016/B978-0-08-049646-7.50001-1. ISBN 978-0-12-238452-3. Zbl 0992.03001. 2014년 11월 26일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 11월 24일에 확인함.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)