바나흐 고정점 정리
수학 에서 바나흐 고정점 정리 (-固定點定理, 영어 : Banach fixed-point theorem ) 또는 축약 사상 정리 (縮約寫像定理, 영어 : contraction mapping theorem )는 완비 거리 공간 위의 축약 사상이 유일한 고정점 을 갖는다는 정리이다.
거리 공간
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
축약 사상 (縮約寫像, 영어 : contraction mapping )은 1 미만의 상수에 대한 립시츠 연속 함수 이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는
α α -->
∈ ∈ -->
[
0
,
1
)
{\displaystyle \alpha \in [0,1)}
T
: : -->
X
→ → -->
X
{\displaystyle T\colon X\to X}
임의의
x
,
y
∈ ∈ -->
X
{\displaystyle x,y\in X}
d
(
T
(
x
)
,
T
(
y
)
)
≤ ≤ -->
α α -->
d
(
x
,
y
)
{\displaystyle d(T(x),T(y))\leq \alpha d(x,y)}
바나흐 고정점 정리 에 따르면, 완비 거리 공간
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
T
: : -->
X
→ → -->
X
{\displaystyle T\colon X\to X}
T
(
x
∗ ∗ -->
)
=
x
∗ ∗ -->
{\displaystyle T(x^{*})=x^{*}}
x
∗ ∗ -->
∈ ∈ -->
X
{\displaystyle x^{*}\in X}
사실, 임의의
x
0
∈ ∈ -->
X
{\displaystyle x_{0}\in X}
(
x
n
=
T
n
(
x
0
)
)
n
=
0
∞ ∞ -->
{\displaystyle (x_{n}=T^{n}(x_{0}))_{n=0}^{\infty }}
x
∗ ∗ -->
{\displaystyle x^{*}}
T
n
{\displaystyle T^{n}}
T
{\displaystyle T}
n
{\displaystyle n}
합성 이다.) 그 오차의 한 상계 는 다음과 같다.[ 1]
d
(
x
n
,
x
∗ ∗ -->
)
≤ ≤ -->
α α -->
n
1
− − -->
α α -->
d
(
x
1
,
x
0
)
{\displaystyle d(x_{n},x^{*})\leq {\frac {\alpha ^{n}}{1-\alpha }}d(x_{1},x_{0})}
우선, 임의의
n
=
0
,
1
,
2
,
… … -->
{\displaystyle n=0,1,2,\dots }
d
(
x
n
+
1
,
x
n
)
=
d
(
T
(
x
n
)
,
T
(
x
n
− − -->
1
)
)
≤ ≤ -->
α α -->
d
(
x
n
,
x
n
− − -->
1
)
≤ ≤ -->
α α -->
2
d
(
x
n
− − -->
1
,
x
n
− − -->
2
)
⋮ ⋮ -->
≤ ≤ -->
α α -->
n
d
(
x
1
,
x
0
)
{\displaystyle {\begin{aligned}d(x_{n+1},x_{n})&=d(T(x_{n}),T(x_{n-1}))\\&\leq \alpha d(x_{n},x_{n-1})\\&\leq \alpha ^{2}d(x_{n-1},x_{n-2})\\&\vdots \\&\leq \alpha ^{n}d(x_{1},x_{0})\end{aligned}}}
따라서, 임의의
m
≥ ≥ -->
n
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle m\geq n\geq 0}
d
(
x
m
,
x
n
)
≤ ≤ -->
∑ ∑ -->
i
=
n
m
− − -->
1
d
(
x
i
+
1
,
x
i
)
≤ ≤ -->
∑ ∑ -->
i
=
n
m
− − -->
1
α α -->
i
d
(
x
1
,
x
0
)
≤ ≤ -->
α α -->
n
1
− − -->
α α -->
d
(
x
1
,
x
0
)
{\displaystyle {\begin{aligned}d(x_{m},x_{n})&\leq \sum _{i=n}^{m-1}d(x_{i+1},x_{i})\\&\leq \sum _{i=n}^{m-1}\alpha ^{i}d(x_{1},x_{0})\\&\leq {\frac {\alpha ^{n}}{1-\alpha }}d(x_{1},x_{0})\end{aligned}}}
이다. 즉,
(
x
n
)
n
=
0
∞ ∞ -->
{\displaystyle (x_{n})_{n=0}^{\infty }}
코시 열 이며, 어떤 점
x
∗ ∗ -->
∈ ∈ -->
X
{\displaystyle x^{*}\in X}
T
{\displaystyle T}
연속 함수 이므로
T
(
x
∗ ∗ -->
)
=
lim
n
→ → -->
∞ ∞ -->
T
(
x
n
)
=
lim
n
→ → -->
∞ ∞ -->
x
n
+
1
=
x
∗ ∗ -->
{\displaystyle T(x^{*})=\lim _{n\to \infty }T(x_{n})=\lim _{n\to \infty }x_{n+1}=x^{*}}
이며,
x
∗ ∗ -->
{\displaystyle x^{*}}
T
{\displaystyle T}
반대로,
x
∗ ∗ -->
∗ ∗ -->
∈ ∈ -->
X
{\displaystyle x^{**}\in X}
T
{\displaystyle T}
d
(
x
∗ ∗ -->
,
x
∗ ∗ -->
∗ ∗ -->
)
=
d
(
T
(
x
∗ ∗ -->
)
,
T
(
x
∗ ∗ -->
∗ ∗ -->
)
)
≤ ≤ -->
C
d
(
x
∗ ∗ -->
,
x
∗ ∗ -->
∗ ∗ -->
)
{\displaystyle d(x^{*},x^{**})=d(T(x^{*}),T(x^{**}))\leq Cd(x^{*},x^{**})}
이므로
d
(
x
∗ ∗ -->
,
x
∗ ∗ -->
∗ ∗ -->
)
=
0
{\displaystyle d(x^{*},x^{**})=0}
이다. 즉,
x
∗ ∗ -->
=
x
∗ ∗ -->
∗ ∗ -->
{\displaystyle x^{*}=x^{**}}
우선, 임의의
x
,
y
∈ ∈ -->
X
{\displaystyle x,y\in X}
d
(
x
,
y
)
≤ ≤ -->
d
(
x
,
T
(
x
)
)
+
d
(
T
(
x
)
,
T
(
y
)
)
+
d
(
T
(
y
)
,
y
)
≤ ≤ -->
d
(
x
,
T
(
x
)
)
+
α α -->
d
(
x
,
y
)
+
d
(
T
(
y
)
,
y
)
{\displaystyle d(x,y)\leq d(x,T(x))+d(T(x),T(y))+d(T(y),y)\leq d(x,T(x))+\alpha d(x,y)+d(T(y),y)}
이므로
d
(
x
,
y
)
≤ ≤ -->
1
1
− − -->
α α -->
(
d
(
x
,
T
(
x
)
)
+
d
(
T
(
y
)
,
y
)
)
{\displaystyle d(x,y)\leq {\frac {1}{1-\alpha }}(d(x,T(x))+d(T(y),y))}
이다. 특히,
x
,
y
{\displaystyle x,y}
T
{\displaystyle T}
d
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle d(x,y)=0}
이제, 임의의
m
,
n
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle m,n\geq 0}
d
(
x
m
,
x
n
)
≤ ≤ -->
1
1
− − -->
α α -->
(
d
(
x
m
,
x
m
+
1
)
+
d
(
x
n
+
1
,
x
n
)
)
≤ ≤ -->
α α -->
m
+
α α -->
n
1
− − -->
α α -->
d
(
x
0
,
x
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}d(x_{m},x_{n})&\leq {\frac {1}{1-\alpha }}(d(x_{m},x_{m+1})+d(x_{n+1},x_{n}))\\&\leq {\frac {\alpha ^{m}+\alpha ^{n}}{1-\alpha }}d(x_{0},x_{1})\end{aligned}}}
이다. 즉,
(
x
n
)
n
=
0
∞ ∞ -->
{\displaystyle (x_{n})_{n=0}^{\infty }}
코시 열 이며, 어떤 점
x
∗ ∗ -->
{\displaystyle x^{*}}
T
x
∗ ∗ -->
=
x
∗ ∗ -->
{\displaystyle Tx^{*}=x^{*}}
d
(
x
∗ ∗ -->
,
x
n
)
=
lim
m
→ → -->
∞ ∞ -->
d
(
x
m
,
x
n
)
≤ ≤ -->
lim
m
→ → -->
∞ ∞ -->
α α -->
m
+
α α -->
n
1
− − -->
α α -->
d
(
x
0
,
x
1
)
=
α α -->
n
1
− − -->
α α -->
d
(
x
0
,
x
1
)
{\displaystyle d(x^{*},x_{n})=\lim _{m\to \infty }d(x_{m},x_{n})\leq \lim _{m\to \infty }{\frac {\alpha ^{m}+\alpha ^{n}}{1-\alpha }}d(x_{0},x_{1})={\frac {\alpha ^{n}}{1-\alpha }}d(x_{0},x_{1})}
바나흐 고정점 정리는 다음과 같은 명제들의 증명에서 사용할 수 있다.
집합
X
{\displaystyle X}
T
: : -->
X
→ → -->
X
{\displaystyle T\colon X\to X}
α α -->
∈ ∈ -->
(
0
,
1
)
{\displaystyle \alpha \in (0,1)}
[ 2]
만약 임의의
n
∈ ∈ -->
Z
+
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}
T
n
{\displaystyle T^{n}}
T
{\displaystyle T}
α α -->
{\displaystyle \alpha }
X
{\displaystyle X}
거리 함수
d
{\displaystyle d}
만약 추가로
T
n
{\displaystyle T^{n}}
n
∈ ∈ -->
Z
+
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}
T
{\displaystyle T}
α α -->
{\displaystyle \alpha }
X
{\displaystyle X}
완비 거리 함수
d
{\displaystyle d}
T1 공간
X
{\displaystyle X}
T
: : -->
X
→ → -->
X
{\displaystyle T\colon X\to X}
유일한 고정점
x
∗ ∗ -->
∈ ∈ -->
X
{\displaystyle x^{*}\in X}
임의의
x
∈ ∈ -->
X
{\displaystyle x\in X}
(
T
n
(
x
)
)
n
=
0
∞ ∞ -->
{\displaystyle (T^{n}(x))_{n=0}^{\infty }}
x
∗ ∗ -->
{\displaystyle x^{*}}
그렇다면,
T
{\displaystyle T}
X
{\displaystyle X}
완비 초거리 함수
d
{\displaystyle d}
[ 3]
다양한 방향의 수많은 변형과 일반화가 존재한다.
n 번 합성이 축약 사상인 경우완비 거리 공간
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
T
: : -->
X
→ → -->
X
{\displaystyle T\colon X\to X}
T
n
{\displaystyle T^{n}}
n
∈ ∈ -->
Z
+
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}
T
{\displaystyle T}
[ 4]
n 번 합성에 대한 상수의 급수가 수렴하는 경우완비 거리 공간
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
T
: : -->
X
→ → -->
X
{\displaystyle T\colon X\to X}
(
α α -->
n
)
n
=
1
∞ ∞ -->
⊂ ⊂ -->
[
0
,
∞ ∞ -->
)
{\displaystyle (\alpha _{n})_{n=1}^{\infty }\subset [0,\infty )}
임의의
n
∈ ∈ -->
Z
+
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}
x
,
y
∈ ∈ -->
X
{\displaystyle x,y\in X}
d
(
T
n
(
x
)
,
T
n
(
y
)
)
≤ ≤ -->
α α -->
n
d
(
x
,
y
)
{\displaystyle d(T^{n}(x),T^{n}(y))\leq \alpha _{n}d(x,y)}
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
α α -->
n
<
∞ ∞ -->
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}<\infty }
그렇다면,
T
{\displaystyle T}
[ 5]
축약 사상의 정의에서 상수 1을 취하고 부등식을 엄격한 부등식으로 대체할 경우, 보다 더 약한 조건을 얻는다. 바나흐 고정점 정리는 축약 조건을 이 조건으로 약화할 경우 거짓이 된다. 그러나 콤팩트 공간 조건을 추가할 경우 다시 참이다. (모든 콤팩트 거리 공간 은 자동적으로 완비 거리 공간 이다.)
구체적으로, 콤팩트 거리 공간
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
T
: : -->
X
→ → -->
X
{\displaystyle T\colon X\to X}
임의의
x
,
y
∈ ∈ -->
X
{\displaystyle x,y\in X}
x
≠ ≠ -->
y
{\displaystyle x\neq y}
d
(
T
(
x
)
,
T
(
y
)
)
<
d
(
x
,
y
)
{\displaystyle d(T(x),T(y))<d(x,y)}
그렇다면,
T
{\displaystyle T}
[ 6]
함수
x
↦ ↦ -->
d
(
x
,
T
(
x
)
)
{\displaystyle x\mapsto d(x,T(x))}
가 연속 함수 이므로, 콤팩트 조건에 따라 이 함수는 어떤 점
x
∗ ∗ -->
∈ ∈ -->
X
{\displaystyle x^{*}\in X}
d
(
T
(
x
∗ ∗ -->
)
,
T
2
(
x
∗ ∗ -->
)
)
≥ ≥ -->
d
(
x
∗ ∗ -->
,
T
(
x
∗ ∗ -->
)
)
{\displaystyle d(T(x^{*}),T^{2}(x^{*}))\geq d(x^{*},T(x^{*}))}
이며, 따라서
x
∗ ∗ -->
=
T
(
x
∗ ∗ -->
)
{\displaystyle x^{*}=T(x^{*})}
거리 공간
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
준축약 사상 (영어 : quasicontraction mapping )은 다음 조건을 만족시키는
α α -->
∈ ∈ -->
[
0
,
1
)
{\displaystyle \alpha \in [0,1)}
T
: : -->
X
→ → -->
X
{\displaystyle T\colon X\to X}
임의의
x
,
y
∈ ∈ -->
X
{\displaystyle x,y\in X}
d
(
T
(
x
)
,
T
(
y
)
)
≤ ≤ -->
α α -->
max
{
d
(
x
,
y
)
,
d
(
x
,
T
(
x
)
)
,
d
(
y
,
T
(
y
)
)
,
d
(
x
,
T
(
y
)
)
,
d
(
y
,
T
(
X
)
)
}
{\displaystyle d(T(x),T(y))\leq \alpha \max\{d(x,y),d(x,T(x)),d(y,T(y)),d(x,T(y)),d(y,T(X))\}}
완비 거리 공간
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
T
: : -->
X
→ → -->
X
{\displaystyle T\colon X\to X}
[ 7]
거리 공간
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
약축약 사상 (영어 : weak contraction mapping )은 다음 조건을 만족시키는 함수
ϕ ϕ -->
: : -->
[
0
,
∞ ∞ -->
)
→ → -->
[
0
,
∞ ∞ -->
)
{\displaystyle \phi \colon [0,\infty )\to [0,\infty )}
T
: : -->
X
→ → -->
X
{\displaystyle T\colon X\to X}
임의의
x
,
y
∈ ∈ -->
X
{\displaystyle x,y\in X}
d
(
T
(
x
)
,
T
(
y
)
)
≤ ≤ -->
d
(
x
,
y
)
− − -->
ϕ ϕ -->
(
d
(
x
,
y
)
)
{\displaystyle d(T(x),T(y))\leq d(x,y)-\phi (d(x,y))}
ϕ ϕ -->
{\displaystyle \phi }
연속 함수 이며, 증가 함수 이다.
ϕ ϕ -->
− − -->
1
(
0
)
=
{
0
}
{\displaystyle \phi ^{-1}(0)=\{0\}}
완비 거리 공간
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
T
: : -->
X
→ → -->
X
{\displaystyle T\colon X\to X}
[ 8]
유사 거리 공간 또는 직사각 거리 공간(영어 : rectangular metric space ) 또는 뿔 거리 공간(영어 : cone metric space ) 따위에서의 일반화가 존재한다.
(표준적인 거리 공간 구조를 갖춘) 구간
(
0
,
1
]
⊂ ⊂ -->
R
{\displaystyle (0,1]\subset \mathbb {R} }
완비 거리 공간 이 아니다. 그 위의 함수
T
: : -->
x
↦ ↦ -->
1
2
x
{\displaystyle T\colon x\mapsto {\frac {1}{2}}x}
는 축약 사상이지만, 고정점을 가지지 않는다.
(표준적인 거리 공간 구조를 갖춘) 실수 집합
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
완비 거리 공간 이지만 콤팩트 공간 이 아니다. 그 위의 함수
T
: : -->
x
↦ ↦ -->
π π -->
2
+
x
− − -->
arctan
-->
x
{\displaystyle T\colon x\mapsto {\frac {\pi }{2}}+x-\arctan x}
를 생각하자. 임의의
x
≠ ≠ -->
y
{\displaystyle x\neq y}
평균값 정리 에 따라
|
T
(
x
)
− − -->
T
(
y
)
|
=
|
x
− − -->
y
− − -->
arctan
-->
x
+
arctan
-->
y
|
=
ξ ξ -->
2
1
+
ξ ξ -->
2
|
x
− − -->
y
|
<
|
x
− − -->
y
|
{\displaystyle |T(x)-T(y)|=|x-y-\arctan x+\arctan y|={\frac {\xi ^{2}}{1+\xi ^{2}}}|x-y|<|x-y|}
ξ ξ -->
∈ ∈ -->
(
x
,
y
)
∪ ∪ -->
(
y
,
x
)
{\displaystyle \xi \in (x,y)\cup (y,x)}
이다. 그러나
T
{\displaystyle T}
(표준적인 거리 공간 구조를 갖춘) 집합
A
=
{
0
}
∪ ∪ -->
⋃ ⋃ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
A
n
⊂ ⊂ -->
R
2
{\displaystyle A=\{0\}\cup \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\subset \mathbb {R} ^{2}}
A
n
=
{
(
t
,
t
/
n
)
: : -->
t
∈ ∈ -->
(
0
,
1
]
}
{\displaystyle A_{n}=\{(t,t/n)\colon t\in (0,1]\}}
을 생각하자.[ 9]
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
닫힌집합 이 아니므로 (
(
0
,
1
)
∉
A
{\displaystyle (0,1)\not \in A}
완비 거리 공간 이 아니지만, 모든 축약 사상이 유일한 고정점을 갖는다. 임의의 연속 함수
T
: : -->
A
→ → -->
A
{\displaystyle T\colon A\to A}
T
{\displaystyle T}
연속 함수 이며, 축약 사상의 고정점은 많아야 하나이기 때문이다.) 만약
T
(
0
)
=
0
{\displaystyle T(0)=0}
T
{\displaystyle T}
n
∈ ∈ -->
Z
+
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}
T
(
0
)
∈ ∈ -->
A
n
{\displaystyle T(0)\in A_{n}}
U
: : -->
A
n
∪ ∪ -->
{
0
}
→ → -->
A
n
∪ ∪ -->
{
0
}
{\displaystyle U\colon A_{n}\cup \{0\}\to A_{n}\cup \{0\}}
U
: : -->
x
↦ ↦ -->
{
T
(
x
)
T
(
x
)
∈ ∈ -->
A
n
0
T
(
x
)
∉
A
n
{\displaystyle U\colon x\mapsto {\begin{cases}T(x)&T(x)\in A_{n}\\0&T(x)\not \in A_{n}\end{cases}}}
그렇다면,
U
{\displaystyle U}
연속 함수 이다.
A
n
∪ ∪ -->
{
0
}
{\displaystyle A_{n}\cup \{0\}}
콤팩트 볼록 집합 이므로,
U
{\displaystyle U}
x
∗ ∗ -->
∈ ∈ -->
A
n
∪ ∪ -->
{
0
}
{\displaystyle x^{*}\in A_{n}\cup \{0\}}
x
∗ ∗ -->
≠ ≠ -->
0
{\displaystyle x^{*}\neq 0}
T
(
x
∗ ∗ -->
)
=
x
∗ ∗ -->
{\displaystyle T(x^{*})=x^{*}}
x
∗ ∗ -->
=
0
{\displaystyle x^{*}=0}
U
(
0
)
=
0
∉
A
n
{\displaystyle U(0)=0\not \in A_{n}}
이므로
T
(
0
)
∉
A
n
{\displaystyle T(0)\not \in A_{n}}
U
(
x
∗ ∗ -->
)
=
x
∗ ∗ -->
∈ ∈ -->
A
n
{\displaystyle U(x^{*})=x^{*}\in A_{n}}
이므로,
T
(
x
∗ ∗ -->
)
∈ ∈ -->
A
n
{\displaystyle T(x^{*})\in A_{n}}
T
(
x
∗ ∗ -->
)
=
U
(
x
∗ ∗ -->
)
=
x
∗ ∗ -->
{\displaystyle T(x^{*})=U(x^{*})=x^{*}}
이다.)
스테판 바나흐 가 1922년에 처음 서술하였다.[ 10] [ 11]
↑ 가 나 Palais, Richard S. (2007). “A simple proof of the Banach contraction principle”. 《Journal of Fixed Point Theory and Applications》 (영어) 2 : 221–223. doi :10.1007/s11784-007-0041-6 . ISSN 1661-7738 . ↑ Bessaga, Czesław (1959). “On the converse of Banach fixed-point principle”. 《Colloquium Mathematicum》 (영어) 7 : 41–43. doi :10.4064/cm-7-1-41-43 . ISSN 0010-1354 . MR 111015 . ↑ Hitzler, Pascal; Seda, Anthony Karel (2001). “A "Converse" of the Banach Contraction Mapping Theorem”. 《Journal of Electrical Engineering》 (영어) 52 (10): 3–6. ISSN 1335-3632 . ↑ Bryant, V. W. (1968). “A remark on a fixed point theorem for iterated mappings”. 《American Mathematical Monthly》 (영어) 75 : 399–400. doi :10.2307/2313440 . ISSN 0002-9890 . ↑ Caccioppoli, Renato (1930). “Un teorema generale sull'esistenza di elementi uniti in una trasformazione funzionale”. 《Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche. Matematiche e Naturali. Serie 6》 (이탈리아어) 11 : 794–799. ↑ Edelstein, Michael (1962). “On Fixed and Periodic Points Under Contractive Mappings”. 《Journal of the London Mathematical Society》 (영어) 37 : 74–79. doi :10.1112/jlms/s1-37.1.74 . ISSN 0024-6107 . MR 133102 . ↑ Ćirić, Ljubomir B. (1974). “A generalization of Banach's contraction principle”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 45 : 267–273. doi :10.1090/S0002-9939-1974-0356011-2 . ISSN 0002-9939 . MR 0356011 . ↑ Rhoades, B. E. (2001). “Some theorems on weakly contractive maps”. 《Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications》 (영어) 47 (4): 2683–2693. doi :10.1016/S0362-546X(01)00388-1 . ISSN 0362-546X . ↑ Suzuki, Tomonari; Takahashi, Wataru (1996). “Fixed point theorems and characterizations of metric completeness”. 《Topological Methods in Nonlinear Analysis》 (영어) 8 (2): 371–382. doi :10.12775/TMNA.1996.040 . ISSN 1230-3429 . ↑ Banach, Stefan (1922). “Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur applications aux équations intégrales”. 《Fundamenta Mathematicae》 (프랑스어) 3 : 133–181. ISSN 0016-2736 . ↑ Ciesielski, Krzysztof (2007). “On Stefan Banach and some of his results” (PDF) . 《Banach Journal of Mathematical Analysis》 (영어) 1 (1): 1–10. doi :10.15352/bjma/1240321550 . ISSN 1735-8787 .
![{\displaystyle (0,1]\subset \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/162184cc94f26c1ced16420ea0d564d15487fc01)
![{\displaystyle A_{n}=\{(t,t/n)\colon t\in (0,1]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eb0c28773fedc37458567f95a163500e8a7bb25)
