리 준대수

미분기하학에서 리 준대수(Lie準代數, 영어: Lie algebroid)는 (유한 차원) 실수 리 대수의 일반화이다.^[1][2][3][4] 리 대수와 리 준대수 사이의 관계는 리 군과 리 준군 사이의 관계와 같다.

정의

리 준대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$
• 매끄러운 벡터 다발 ${\displaystyle E\twoheadrightarrow M}$
• 매끄러운 단면 ${\displaystyle \Gamma ^{\infty }(E)}$ 위의 리 대수 구조 ${\displaystyle [-,-]}$
• 매끄러운 벡터 다발 사상 ${\displaystyle \rho \colon E\to \mathrm {T} M}$. 이를 닻(영어: anchor)이라고 한다.

이는 다음 호환 조건을 만족시켜야 한다.

${\displaystyle [s,ft]=(\nabla _{\rho (s)}f)t+f[s,t]\qquad \forall s,t\in \Gamma ^{\infty }(E),\;f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )}$

예

모든 유한 차원 실수 리 대수는 한원소 공간 ${\displaystyle \{\bullet \}}$ 위의 리 준대수이다.

매끄러운 주다발에는 아티야 리 준대수라는 표준적인 리 준대수가 대응된다.

벡터장

매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위에서,

${\displaystyle E=\mathrm {T} M}$

${\displaystyle \rho =\operatorname {id} _{\mathrm {T} M}}$ (항등 함수)

${\displaystyle [X,Y]={\mathcal {L}}_{X}Y}$ (리 미분)

를 부여하면, 이는 리 준대수를 이룬다.

보다 일반적으로, ${\displaystyle \mathrm {T} M}$의 적분 가능 부분 다발 (즉, ${\displaystyle [E,E]\subseteq E}$인 부분 벡터 다발 ${\displaystyle E\subseteq \mathrm {T} M}$)은 이 리 준대수의 부분 리 준대수를 이룬다.

아벨 리 준대수

임의의 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 임의의 매끄러운 벡터 다발 ${\displaystyle E\twoheadrightarrow M}$에 대하여

${\displaystyle \rho =0}$

${\displaystyle [-,-]=0}$

을 부여한다면, 이는 (자명하게) 리 준대수를 이룬다. 이는 아벨 리 대수의 일반화이다.

푸아송 다양체

 이 부분의 본문은 푸아송 다양체입니다.

푸아송 다양체 ${\displaystyle (M,\{-,-\})}$가 주어졌다고 하자. 정의에 따라, 항상

${\displaystyle \{f,g\}=\pi (\mathrm {d} f,\mathrm {d} g)}$

인 (2,0)차 반대칭 텐서 ${\displaystyle \pi }$를 정의할 수 있다. 이제,

${\displaystyle E=\mathrm {T} ^{*}M}$

${\displaystyle \rho (\alpha )=\pi (\alpha ,-)\qquad (\alpha \in \Omega ^{1}(M))}$

${\displaystyle [\alpha ,\beta ]={\mathcal {L}}_{\rho \alpha }\beta -{\mathcal {L}}_{\rho \beta }\alpha -\mathrm {d} (\pi (\alpha ,\beta ))\qquad (\alpha ,\beta \in \Omega ^{1}(M))}$

로 놓으면, 이는 리 준대수를 이룬다.

이를 푸아송 리 준대수(영어: Poisson Lie algebroid)라고 한다.

역사

리 준대수의 개념은 1967년에 장 프라딘(프랑스어: Jean Pradines)이 도입하였다.^[5]

참고 문헌

1. Weinstein, Alan (1996). “Groupoids: unifying internal and external symmetry” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 43: 744–752. arXiv:math/9602220. 
2. Mackenzie, Kirill (1987). 《Lie groupoids and Lie algebroids in differential geometry》 (영어). Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511661839. 
3. Mackenzie, Kirill (2005). 《General theory of Lie groupoids and Lie algebroids》 (영어). Cambridge University Press. 
4. Marle, Charles-Michel (2002). “Differential calculus on a Lie algebroid and Poisson manifolds” (영어). arXiv:0804.2451. 
5. Pradines, Jean (1967). “Théorie de Lie pour les groupoïdes différentiables. Calcul différentiel dans la catégorie des groupoïdes infinitésimaux”. 《Comptes Rendus de l’Académie des sciences. Série A》 (프랑스어) 264: 245–248. MR 216409. Zbl 0154.21704. 

외부 링크

• “Lie algebroid”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Lie algebroid”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Lie algebroid”. 《nLab》 (영어). 
• “Tangent Lie algebroid”. 《nLab》 (영어).