뤼카 수열

수학에서 뤼카 수열(영어: Lucas sequence)은 주어진 두 정수에 의존하는, 일차 점화식으로 정의되는 수열이다.

정의

두 정수 ${\displaystyle P,Q}$에 대한 제1종 뤼카 수열(영어: Lucas sequence of the first kind ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$은 다음과 같이 점화식으로 정의된다.

${\displaystyle U_{0}(P,Q)=0}$

${\displaystyle U_{1}(P,Q)=1}$

${\displaystyle U_{n}(P,Q)=P\cdot U_{n-1}-Q\cdot U_{n-2}(P,Q)}$

두 정수 ${\displaystyle P,Q}$에 대한 제2종 뤼카 수열(영어: Lucas sequence of the second kind ${\displaystyle V_{n}(P,Q)}$은 다음과 같이 점화식으로 정의된다.

${\displaystyle V_{0}(P,Q)=2}$

${\displaystyle V_{1}(P,Q)=P}$

${\displaystyle V_{n}(P,Q)=P\cdot V_{n-1}-Q\cdot V_{n-2}(P,Q)}$

성질

일반항

이차 방정식 ${\displaystyle x^{2}-Px+Q}$의 두 해를 각각

${\displaystyle \textstyle \alpha =(P+{\sqrt {P^{2}-4Q}})/2}$

${\displaystyle \textstyle \beta =(P-{\sqrt {P^{2}-4Q}})/2}$

라고 할 때, 뤼카 수열의 일반항은 각각 다음과 같다.

${\displaystyle U_{n}(P,Q)=(\alpha ^{n}-\beta ^{n})/(\alpha -\beta )}$

${\displaystyle V_{n}(P,Q)=\alpha ^{n}+\beta ^{n}}$

생성 함수

뤼카 수열의 생성 함수는 각각 다음과 같다.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(P,Q)x^{n}=x/(1-Px+Qx^{2})}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }V_{n}(P,Q)x^{n}=(2-Px)/(1-Px+Qx^{2})}$

예

값

뤼카 수열의 처음 몇 항은 각각 다음과 같다.^[1]

${\displaystyle n}$	${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$	${\displaystyle V_{n}(P,Q)}$
0	0	2
1	1	${\displaystyle P}$
2	P	${\displaystyle P^{2}-2Q}$
3	${\displaystyle P^{2}-Q}$	${\displaystyle P(P^{2}-3Q)}$
4	${\displaystyle P(P^{2}-2Q)}$	${\displaystyle P^{4}-4QP^{2}+2Q^{2}}$
5	${\displaystyle P^{4}-3QP^{2}+Q^{2}}$	${\displaystyle P(P^{4}-5QP^{2}+5Q^{2})}$
6	${\displaystyle P(P^{2}-3Q)(P^{2}-Q)}$	${\displaystyle (P^{2}-2Q)(P^{4}-4QP^{2}+Q^{2})}$
7	${\displaystyle P^{6}-5QP^{4}+6Q^{2}P^{2}-Q^{3}}$	${\displaystyle P(P^{6}-7QP^{4}+14Q^{2}P^{2}-7Q^{3})}$
8	${\displaystyle P(P^{2}-2Q)(P^{4}-4QP^{2}+2Q^{2})}$	${\displaystyle P^{8}-8QP^{5}+20Q^{2}P^{4}-16Q^{3}P^{2}+2Q^{4}}$
9	${\displaystyle (P^{2}-Q)(P^{6}-6QP^{4}+9Q^{2}P^{2}-Q^{3})}$	${\displaystyle P(P^{2}-3Q)(P^{6}-6QP^{4}+9Q^{2}P^{2}-3Q^{3}}$
10	${\displaystyle P(P^{4}-3QP^{2}+Q^{2})(P^{4}-5QP^{2}+5Q^{2})}$	${\displaystyle (P^{2}-2Q)(P^{8}-8QP^{6}+19Q^{2}P^{4}-12Q^{3}P^{2}+Q^{4})}$

특수한 경우

뤼카 수열의 몇 가지 특수한 경우는 다음과 같다.

${\displaystyle P}$	${\displaystyle Q}$	${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$		${\displaystyle V_{n}(P,Q)}$
		이름	OEIS	이름	OEIS
-1	3	-	A214733	-	-
1	-2	야콥스탈 수	A001045	야콥스탈-뤼카 수	A014551
1	-1	피보나치 수	A000045	뤼카 수	A000032
1	1	-	A128834	-	A087204
1	2	-	A107920	-	A002249
2	-1	펠 수	A000129	펠-뤼카 수	A002203
2	1	-	A001477	-	-
2	2	-	A009545	-	A007395
2	3	-	A088137	-	-
2	4	-	A088138	-	-
2	5	-	A045873	-	-
3	-5	-	A015523	-	A072263
3	-4	-	A015521	-	A201455
3	-3	-	A030195	-	A172012
3	-2	-	A007482	-	A206776
3	-1	-	A006190	-	A006497
3	1	-	A001906	-	A005248
3	2	메르센 수	A000225	${\displaystyle 2^{n}+1}$	A000051
3	5	-	A190959	-	-
4	-3	-	A015530	-	A080042
4	-2	-	A090017	-	-
4	-1	-	A001076	-	A014448
4	1	-	A001353	-	A003500
4	2	-	A007070	-	A056236
4	3	-	A003462	-	A034472
4	4	-	A001787	-	-
5	-3	-	A015536	-	-
5	-2	-	A015535	-	-
5	-1	-	A052918	-	A087130
5	1	-	A004254	-	A003501
5	4	-	A002450	-	A052539
${\displaystyle x}$	-1	피보나치 다항식	-	뤼카 다항식	-
${\displaystyle 2x}$	1	제2종 체비쇼프 다항식	-	제1종 체비쇼프 다항식의 2배	-
${\displaystyle x+1}$	${\displaystyle x}$	${\displaystyle x}$를 밑으로 하는 렙유니트 수	-	${\displaystyle x^{n}+1}$	-

역사

프랑스 수학자 에두아르 뤼카의 이름을 따 명명되었다.

같이 보기

• 뤼카 수

각주

1. Weisstein, Eric Wolfgang. “Lucas sequence”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 

외부 링크

• “Lucas sequence”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Lucas sequence”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.