렙셰츠 수

일반위상수학에서 렙셰츠 수(Лефшец數, 영어: Lefschetz number)는 콤팩트 공간 위의 연속 자기 함수의 호모토피류에 대응되는 유리수 값의 불변량이다. 렙셰츠 수가 0이 아닌 경우, 렙셰츠 고정점 정리(Лефшец固定點定理, 영어: Lefschetz fixed-point theorem)에 따르면 함수는 고정점을 갖는다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 위상 공간 ${\displaystyle X}$. 또한, 그 모든 베티 수와 코호몰로지 차원이 유한하다고 하자.
• 연속 함수 ${\displaystyle f\colon X\to X}$

그렇다면, ${\displaystyle f}$에 의하여 특이 코호몰로지에 대한 군 준동형이 유도된다.

${\displaystyle f_{*}^{(n)}\colon \operatorname {H} ^{n}(X;\mathbb {Z} )\to \operatorname {H} ^{n}(X;\mathbb {Z} )\qquad (n\in \mathbb {N} )}$

특히, 유리수 계수를 취하면, 다음과 같은 유리수 선형 변환을 얻는다.

${\displaystyle f_{*}^{(n)}\otimes \mathbb {Q} \colon \operatorname {H} ^{n}(X;\mathbb {Q} )\to \operatorname {H} ^{n}(X;\mathbb {Q} )\qquad (n\in \mathbb {N} )}$

${\displaystyle f}$의 렙셰츠 수 ${\displaystyle \operatorname {Lef} f}$는 다음과 같은 대각합들의 합인 유리수이다.

${\displaystyle \operatorname {Lef} f=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\operatorname {tr} (f_{*}^{(n)}\otimes \mathbb {Q} )\in \mathbb {Q} }$

성질

렙셰츠 고정점 정리에 따르면, 만약

• ${\displaystyle X}$가 콤팩트 단체 복합체이며,
• ${\displaystyle \operatorname {Lef} f\neq 0}$이라면,

${\displaystyle f}$는 고정점을 갖는다. 즉, ${\displaystyle f(x)=x}$인 ${\displaystyle x\in X}$가 존재한다.

그러나 그 역은 성립하지 않을 수 있다.

렙셰츠-호프 정리

만약

• ${\displaystyle X}$가 ${\displaystyle n}$차원 콤팩트 다양체이며,
• ${\displaystyle f}$가 오직 유한 개의 고정점을 갖는다고 하자.

${\displaystyle f}$의 고정점들의 집합을 ${\displaystyle \operatorname {Fix} (f)\subseteq X}$라고 하자. ${\displaystyle x_{0}\in \operatorname {Fix} f}$에 대하여, 항상 다음 조건들을 만족시키는 두 근방 ${\displaystyle U\ni x_{0}}$, ${\displaystyle V\ni x_{0}}$을 찾을 수 있다.

• ${\displaystyle U}$와 ${\displaystyle V}$는 ${\displaystyle n}$차원 열린 공과 위상 동형이다.
• ${\displaystyle f(V)\subseteq U}$이다.
• ${\displaystyle U\cap \operatorname {Fix} f=V\cap \operatorname {Fix} f=\{x_{0}\}}$
• ${\displaystyle \forall x\in V\setminus \{x_{0}\}\colon f(x)\neq x_{0}}$

로 가정할 수 있다. 이 경우, 다음 함수

${\displaystyle f\upharpoonright (V\setminus \{x_{0}\})\colon V\setminus \{x_{0}\}\to U\setminus \{x_{0}\}}$

를 생각하자. 정의역과 공역 둘 다 초구 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$와 동치이므로, 호모토피류 ${\displaystyle \phi _{x_{0}}\colon (U\setminus \{x_{0}\}\simeq \mathbb {S} ^{n-1})\to (U\setminus \{x_{0}\}\simeq \mathbb {S} ^{n-1})}$를 정의할 수 있다. ${\displaystyle X}$에 임의의 방향을 주었을 때, ${\displaystyle \phi _{x_{0}}}$의 브라우어르 차수 ${\displaystyle \deg \phi _{x_{0}}\in \mathbb {Z} }$를 정의할 수 있다.

렙셰츠-호프 정리(영어: Lefschetz–Hopf theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \sum _{x\in \operatorname {Fix} (f)}\deg \phi _{x}=\operatorname {Lef} f\in \mathbb {Z} }$

특히, 이 경우 렙셰츠 수는 항상 정수임을 알 수 있다.

예

만약 ${\displaystyle f}$가 항등 함수라면 그 렙셰츠 수는 ${\displaystyle X}$의 오일러 지표이다.

${\displaystyle \operatorname {Lef} f=\chi (X)}$

렙셰츠 정리의 역에 대한 반례

원 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\cong \mathbb {R} /(\forall x\colon x\sim x+1)}$ 위의 항등 함수 ${\displaystyle f\colon x\mapsto x}$를 생각하자. 이는 물론 연속 함수이며, 무한히 많은 고정점을 갖는다. 그러나 임의의 ${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} }$에 대하여 ${\displaystyle x\mapsto x+\theta }$는 항등 함수와 호모토픽하지만 고정점을 갖지 않는다. 즉, 고정점을 갖는지 여부는 호모토피 불변량이 아니며, 이 호모토피류의 렙셰츠 수는 0이다.

역사

솔로몬 렙셰츠가 도입하였다.^[1][2] 렙셰츠-호프 정리는 하인츠 호프가 증명하였다.

각주

1. Lefschetz, Solomon (1926). “Intersections and transformations of complexes and manifolds”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 28 (1): 1–49. doi:10.2307/1989171. 
2. Lefschetz, Solomon (1937). “On the fixed point formula”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 38 (4): 819–822. doi:10.2307/1968838. 

외부 링크

• “Lefschetz number”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Lefschetz formula”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Lefschetz fixed point theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Lefschetz trace formula”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Lefschetz trace formula”. 《nLab》 (영어). 
• “Grothendieck-Lefschetz trace formula”. 《nLab》 (영어).